Число Коксетера — характеристика скінченної звідної групи Коксетера. У разі, коли група Коксетера є групою Вейля простої алгебри Лі , то говорять про число Коксетера алгебри .
Поняття названо на честь Гарольда Коксетера.
Означення
Існує кілька еквівалентних означень цього числа. Число Коксетера дорівнює кількості коренів, поділеній на ранг. Еквівалентно, число Коксетера рівно подвоєному числу віддзеркалень в групі Коксетера, діленому на ранг. Якщо група побудована за простою алгеброю Лі, то розмірність цієї алгебри дорівнює n(h + 1), де n — ранг, і h — число Коксетера. Елементом Коксетера (інколи елементом Кіллінга — Коксетера) називається добуток всіх простих відображень (не плутати з елементом групи Коксетера найбільшої довжини). Числом Коксетера називається порядок елемента Коксетера. Якщо — розкладання старшого кореня за простими коренями, то число Коксетер дорівнює . Еквівалентно, якщо — такий елемент, що , то . Число Коксетера — це найбільша з ступенів базисних інваріантів групи Коксетера.
Таблиця значень
Група Коксетера і символ ШлефліГраф КоксетераДіаграма Динкіна Число Коксетера Двійне число Коксетера Ступені базисних інваріантів An[3,3…,3]…… n + 1 n + 1 2, 3, 4, …, n + 1 Bn[4,3…,3]…… 2n 2n − 1 2, 4, 6, …, 2n Cn… n + 1 Dn[3,3,..31,1]…… 2n − 2 2n − 2 n; 2, 4, 6, …, 2n − 2 E6[32,2,1] 12 12 2, 5, 6, 8, 9, 12 E7[33,2,1] 18 18 2, 6, 8, 10, 12, 14, 18 E8[34,2,1] 30 30 2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30 F4[3,4,3] 12 9 2, 6, 8, 12 G2 6 4 2, 6 H3[5,3] - 10 2, 6, 10 H4[5,3,3] - 30 2, 12, 20, 30 I2(p)[p] - p 2, p
Джерела
J. Humphreys, Reflection groups and Coxeter groups, Cambridge University Press, 1990. Etingof, Pavel I.; Frenkel, Igor; Kirillov, Alexander A. (1998), Lectures on Representation Theory and Knizhnik–Zamolodchikov Equations, Mathematical Surveys and Monographs 58, American Mathematical Society, ISBN 0821804960