Група Коксетера — група, породжена відображеннями в гранях -вимірного многогранника, в якого кожен двогранний кут становить цілу частину від (тобто дорівнює для деякого цілого ). Такі многогранники називаються многогранниками Коксетера. Групи Коксетера визначаються для багатогранників у евклідовому просторі, на сфері, а також у гіперболічному просторі.
Приклади
Скінченним групам Коксетера ізоморфні, зокрема, групи Вейля простих алгебр Лі. Многогранники Коксетера в евклідовому просторі розмірності : -вимірний куб довільної розмірності. -вимірний симплекс, утворений точками з координатами такими, що . Многогранники Коксетера в одиничній сфері розмірності : правильний -вимірний симплекс зі стороною . Многогранники Коксетера у гіперболічних просторах: Правильний - многокутник із кутом . Правильний прямокутний додекаедр у розмірності . Правильний прямокутний стодвадцятикомірник у розмірності .
Властивості
Групи Коксетера описуються і класифікуються за допомогою діаграм Коксетера — Динкіна. Многогранник Коксетера є фундаментальною областю дії групи Коксетера. Зокрема, многогранник Коксетера замощує простір. Зокрема, будь-яка евклідова група Коксетера є прикладом точкової групи. Теорема ВінбергаЭ. Б. Винберг, Гиперболические группы отражений УМН, 40:1(241) (1985), 29–66. У гіперболічних просторах всіх досить великих розмірностей обмежених многогранників Коксетера не існує. Сферичні многогранники Коксетера є симплексами. Многогранники Коксетера є простими. Позначимо через відображення в гранях многогранника, і нехай є двогранний кут між гранями і . Нехай , якщо грані не утворюють двогранного кута у многограннику, і . Тоді групу Коксетера можна задати так:
Варіації та узагальнення Групами Коксетера також називають узагальнення класу груп, описаного вище, що визначається за допомогою задання: ,
де і при .
Див. також Група комплексних відображень Група многогранника Число Коксетера
Примітки
Література JSTOR 1968753