Теорема Кейсі — теорема в геометрії Евкліда, що узагальнює нерівність Птолемея. Названа за іменем ірландського математика Джона Кейсі.
Формулювання Нехай — коло радіуса . Нехай — (в зазначеному порядку) чотири кола, що не перетинаються, які лежать всередині і дотичні до нього. Позначимо через довжину відрізка між точками дотику зовнішньої спільної дотичної кіл . Тоді:
У виродженому випадку, коли всі чотири кола зводяться до точок (кіл радіуса 0), виходить точно теорема Птолемея.
Зауваження Теорема Кейсі справедлива також у більш загальних випадках:
Чотири кола можуть мати не тільки внутрішній (як розібрано вище), а і зовнішній дотик до спільного кола; шість попарних дотичних до цих чотирьох кіл також можуть бути як зовнішніми, так і внутрішніми (як показано на рисунку нижче).
При цьому виконується звичайна формула теореми Кейсі: .
У виродженому випадку, коли три з чотирьох кіл зводяться до точок (кіл радіуса 0), і одна сторона чотирикутника вироджується в точку, а три сторони чотирикутника, що залишилися утворюють рівносторонній трикутник, виходить точно узагальнена теорема Помпею. У виродженому випадку, коли всі чотири кола зводяться до точок (кіл радіуса 0), в останньому випадку також виходить теорема Птолемея.
Примітки
Джерела