Послідовність Трибоначчі — це нескінченна послідовність невід'ємних цілих чисел, перші три елементи якої — це нуль і дві одиниці. Сума трьох попередніх чисел визначає наступне число:
Числа в цій послідовності називаються числами Трибоначчі.
Свою назву ця послідовність отримала як аналог послідовності Фібоначчі, лише для отримання члена цієї послідовності додаються не два, а три попередніх числа.
Перші числа Трибоначчі:
Означення
Послідовність Трибоначчі визначається рекурентним співвідношенням:
для
з початковими значеннями:
Іншими словами: перші три числа — це один раз нуль та двічі одиниця; кожне наступне число є сумою трьох попередніх у послідовності.
З вимоги, що рекурсія
застосовується також до , випливає продовження для від'ємних індексів:
Таким чином, послідовність у лівому напрямку:
Ця послідовність може бути узагальнена на комплексні числа, , векторні простори тощо.
Матриця та константа Послідовність Трибоначчі може бути згенерована такою матрицею:
За допомогою піднесення цієї матриці до степеня цілого числа отримують числа Трибоначчі в першому та третьому стовпцях:
Границя відношення сусідніх членів послідовності і визначає константу Трибоччі:
Ця константа також є дійсним власним значенням матриці , а також розв’язком такого кубічного рівняння:
Цей розв'язок можна також отримати за допомогою формул Кардано.
Рівняння для оберненої сталої Трибоначчі отримується за допомогою заміни і має такий вигляд:
Явна формула Число Трибоначчі можна обчислити за такою явною формулою за допомогою округлення до найближчого цілого числа:
Див. також Узагальнення чисел Фібоначчі Послідовність Фібоначчі
Література K. Atanassov, J. Hlebarova, S. Mihov, "Recurrent formulas of the generalized Fibonacci and Tribonacci sequences" The Fibonacci Quart. , 30 : 1 (1992) стр. 77–79 J.-Z. Lee, J.-S. Lee, "Some properties of the generalization of the Fibonacci sequence" The Fibonacci Quart. , 25 : 2 (1987) стр. 111–117 Finch, S. R. "Mathematical Constants" Cambridge, England: Cambridge University Press : 3 (2003) стр. 9
Зовнішні лінки Yüksel Soykan: Matrix Sequences of Tribonacci and Tribonacci-Lucas Numbers brilliant.org Tribonacci Numbers Yüksel Soykan: Tribonacci and Tribonacci-Lucas Sedenions MDPI Nurettin Irmak, Murat Alp: Tribonacci numbers with indices in arithmetic progression and their sums Miskolc Mathematical Notes, Vol. 14, 2013, Nr. 1, S. 5–133