Ознака Д’Аламбера — ознака збіжності числових рядів встановлена Жаном Д’Аламбером в 1768 році:
Якщо для числового ряду
існує таке число , , що починаючи з деякого номера виконується нерівність
то даний ряд абсолютно збігається; якщо ж, починаючи з деякого номера
то ряд розбігається.
Зокрема, якщо існує границя
то ряд, що розглядається, абсолютно збіжний якщо , а якщо — розбіжний (ознака збіжності Д’Аламбера у граничній формі). Якщо або границя не існує - тест не дає результату, бо ряди які відповідають таким випадкам можуть бути як збіжні, так і розбіжні.
Ознаку д'Аламбера можна застосувати і в випадках, коли границя не існує або дорівнює одиниці, якщо використати верхню і нижню границі. Нехай:
.
Тоді: якщо R < 1, ряд абсолютно збіжний; якщо r > 1, ряд розбіжний; якщо для всіх великих n (незалежно від значення r), ряд теж розбіжний тому що ненульове і зрозстаюче, а тому не наближається до нуля; інакше результат не визначений.
Якщо границя в () існує, то . Таким чином ознака з верхньою і нижньою границею включає в себе ознаку зі звичайною границею.
Приклади 1. Ряд
абсолютно збіжний для всіх комплексних , бо
2. Ряд
розбігається при всіх , бо
3. Якщо , то ряд може як збігатися, так і розбігатися: обидва ряди і задовольняють цю умову, причому перший ряд розбіжний, а другий збіжний.
Розширення для ρ = 1 Як було видно вище, ознака не визначена коли границя дорівнює 1. Розширення ознаки д'Аламбера іноді дозволяють розібратися з такими випадками.
У всіх ознаках нижче, вважаємо що Σan це сума додатніх an. Такі ознаки можна також застосовувати до будь-яких рядів зі скінченним числом від'ємних членів. Такі ряди можна записати як:
де aN - це від'ємний елемент з найбільшим індексом.
Див. також Радикальна ознака Коші
Література
.
Примітки