Оператор між двома топологічними векторними просторами називається обмеженим, якщо кожну обмежену множину топологічного векторного простору він переводить в обмежену множину топологічного векторного простору .
Дане означення можна застосовувати до лінійних і нелінійних операторів. Будь-який неперервний оператор є обмеженим.
Лінійний обмежений оператор
Для лінійного оператора часто наводять інші означення:
Лінійний оператор називається обмеженим, якщо існує такий окіл нуля , що є обмеженою множиною в . Лінійний оператор між нормованими просторами називається обмеженим, якщо існує таке додатне число , що . Найменше з таких чисел позначають через і називають нормою оператора . Іншими словами,
Зв'язок між обмеженістю і неперервністю
Справедливою є теорема про те, що лінійний обмежений оператор, який діє із одного F-простору в інший є неперервним. Також це твердження буде справедливим для лінійного оператора із борнологічного простору у локально опуклий простір . Навпаки, будь-який неперервний оператор є обмеженим. Таким чином
Див. також Лінійний неперервний оператор
Примітки
Джерела