Лінійний неперервний оператор , що діє з лінійного топологічного простору у лінійний топологічний простір — це лінійне відображення із в , що має властивість неперервності.
Термін «лінійний неперервний оператор» зазвичай вживають у разі, коли багатовимірний. Якщо одновимірний, тобто збігається із самим полем ( або ), то прийнято вживати термін лінійний неперервний функціоналЛінійні неперервні функціонали мають специфічні властивості, які відсутні в загальному випадку, і породжують особливі математичні структури, тому теорію лінійних неперервних функціоналів розглядають окремо від загальної теорії.. Множину всіх лінійних неперервних операторів із в позначають .
В теорії нормованих просторів лінійні неперервні оператори більш відомі як обмежені лінійні з причин, викладених нижче. Теорія лінійних неперервних операторів відіграє важливу роль у функціональному аналізі, математичній фізиці та обчислювальній математиці.
Властивості Якщо скінченновимірний, то будь-який лінійний оператор неперервний. Неперервність лінійного оператора в нулі рівносильна його неперервності в будь-якій іншій точці (і, отже, у всьому ). Для нормованих просторів умови неперервності й обмеженості (тобто скінченності операторної норми) рівносильні.. В загальному випадку з неперервності лінійного оператора випливає обмеженість, але зворотне істинне не завжди. Якщо і — банахові простори, і образ оператора збігається з простором , то існує обернений оператор (так звана теорема про обернений оператор). Множина всіх лінійних неперервних операторів з в сама є лінійним топологічним простором. Якщо і нормовані, то також нормована операторною нормою. Якщо — банахів, то й є такою, незалежно від повноти .
Властивості лінійного неперервного оператора дуже залежать від властивостей просторів і . Наприклад, якщо — скінченновимірний простір, то оператор буде цілком неперервним оператором, область його значень буде скінченновимірним лінійним підпростором, і кожен такий оператор можна подати у вигляді матриціТакож, у скінченновимірному просторі із базисом , лінійний неперервний оператор можна подати у вигляді , де — функції зі спряженого простору..
Неперервність і збіжні послідовності Лінійний оператор , що діє з лінійного топологічного простору у лінійний топологічний простір , неперервний тоді й лише тоді, коли для будь-якої послідовності точка , із випливає .
Нехай ряд збігається і — лінійний неперервний оператор. Тоді виконується рівність
.
Це означає, що до збіжних рядів у лінійних топологічних просторах лінійний оператор можна застосовувати почленно.
Якщо , — банахові простори, то неперервний оператор переводить кожну слабко збіжну послідовність у слабко збіжну:
якщо слабке, то слабке.
Пов'язані визначення
Лінійний оператор називають обмеженим знизу, якщо .
Див. також Спряжений оператор
Джерела
Примітки