В теорії чисел число Вудала (Wn) — будь-яке натуральне число виду

для деякого натурального n. Кілька перших чисел Вудала:

1, 7, 23, 63, 159, 383, 895, … послідовність A003261 в OEIS.

Історія Числа Вудала були вперше вивчені і 1917 року, натхнені ранішими дослідженнями подібним чином визначених чисел Каллена. Числа Вудала дивним чином виявилися в теоремі Гудштейна.

Прості числа Вудала

Числа Вудала, які є простими числами, називаються простими числами Вудала. Кілька перших показників n, для яких відповідні числа Вудала Wn прості:

2, 3, 6, 30, 75, 81, 115, 123, 249, 362, 384, … послідовність A002234 в OEIS.

Самі ж прості числа Вудала утворюють послідовність:

7, 23, 383, 32212254719, … .

1976 року показав, що майже всі числа Каллена складені. Доведення Крістофера Гулі переробив математик Хіромі Суяма щоб показати, що воно правильне для будь-якої послідовності чисел , де a і b - цілі числа, і частково також для чисел Вудала. Припускають, що існує нескінченно багато простих чисел Вудала. Станом на жовтень 2018 року найбільше відоме просте число Вудала — .The Prime Database: 8508301*2^17016603-1, Chris Caldwell's The Largest Known Primes Database Воно має 5122515 цифр і знайдене Дієго Бертолотті (Diego Bertolotti) 2018 року в проєкті розподілених обчислень PrimeGrid.

Властивості подільності Подібно до чисел Каллена, числа Вудала мають багато властивостей подільності. Наприклад, якщо p просте число, p ділить

якщо символ Якобі дорівнює +1 і

якщо символ Якобі дорівнює -1.

Узагальнення Узагальнене число Вудала визначається як число виду , де n+2>b. Якщо просте число можна записати в такому вигляді, його називають узагальненим простим числом Вудала.

Найменше n для якого n × bn − 1 є простимList of generalized Woodall primes base 3 to 10000 3, 2, 1, 1, 8, 1, 2, 1, 10, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 167, 2, 1, 12, 1, 2, 2, 29028, 1, 2, 3, 10, 2, 26850, 1, 8, 1, 42, 2, 6, 2, 24, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 140, 1, 2, 2, 22, 2, 8, 1, 2064, 2, 468, 6, 2, 1, 362, 1, 2, 2, 6, 3, 26, 1, 2, 3, 20, 1, 2, 1, 28, 2, 38, 5, 3024, 1, 2, 81, 858, 1, 2, 3, 2, 8, 60, 1, 2, 2, 10, 5, 2, 7, 182, 1, 17782, 3, …

bзначення n для якого n × bn — 1 є простим (ці n перевірені до 350000)послідовністьOEIS13, 4, 6, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30, 32, 38, 42, 44, 48, 54, 60, 62, 68, 72, 74, 80, 84, 90, 98, 102, 104, 108, 110, 114, 128, 132, 138, 140, 150, 152, 158, 164, 168, 174, 180, 182, 192, 194, 198, 200, 212, 224, 228, 230, 234, 240, 242, 252, 258, 264, 270, 272, 278, 282, 284, 294, … (всі прості плюс 1)22, 3, 6, 30, 75, 81, 115, 123, 249, 362, 384, 462, 512, 751, 822, 5312, 7755, 9531, 12379, 15822, 18885, 22971, 23005, 98726, 143018, 151023, 667071, 1195203, 1268979, 1467763, 2013992, 2367906, 3752948, …31, 2, 6, 10, 18, 40, 46, 86, 118, 170, 1172, 1698, 1810, 2268, 4338, 18362, 72662, 88392, 94110, 161538, 168660, 292340, 401208, 560750, 1035092, …41, 2, 3, 5, 8, 14, 23, 63, 107, 132, 428, 530, 1137, 1973, 2000, 7064, 20747, 79574, 113570, 293912, …, 1993191, …58, 14, 42, 384, 564, 4256, 6368, 21132, 27180, 96584, 349656, 545082, …61, 2, 3, 19, 20, 24, 34, 77, 107, 114, 122, 165, 530, 1999, 4359, 11842, 12059, 13802, 22855, 41679, 58185, 145359, 249987, …72, 18, 68, 84, 3812, 14838, 51582, …81, 2, 7, 12, 25, 44, 219, 252, 507, 1155, 2259, 2972, 4584, 12422, 13905, 75606, …910, 58, 264, 1568, 4198, 24500, …102, 3, 8, 11, 15, 39, 60, 72, 77, 117, 183, 252, 396, 1745, 2843, 4665, 5364, …112, 8, 252, 1184, 1308, …121, 6, 43, 175, 821, 910, 1157, 13748, 27032, 71761, 229918, …132, 6, 563528, …141, 3, 7, 98, 104, 128, 180, 834, 1633, 8000, 28538, 46605, 131941, 147684, 433734, …152, 10, 14, 2312, 16718, 26906, 27512, 41260, 45432, 162454, 217606, …16167, 189, 639, …172, 18, 20, 38, 68, 3122, 3488, 39500, …181, 2, 6, 8, 10, 28, 30, 39, 45, 112, 348, 380, 458, 585, 17559, 38751, 43346, 46984, 92711, …1912, 410, 33890, 91850, 146478, 189620, 280524, …201, 18, 44, 60, 80, 123, 429, 1166, 2065, 8774, 35340, 42968, 50312, 210129, …212, 18, 200, 282, 294, 1174, 2492, 4348, …222, 5, 140, 158, 263, 795, 992, 341351, …2329028, …241, 2, 5, 12, 124, 1483, 22075, 29673, 64593, …252, 68, 104, 450, …263, 8, 79, 132, 243, 373, 720, 1818, 11904, 134778, …2710, 18, 20, 2420, 6638, 11368, 14040, 103444, …282, 5, 6, 12, 20, 47, 71, 624, 1149, 2399, 8048, 30650, 39161, …2926850, 237438, 272970, …301, 63, 331, 366, 1461, 3493, 4002, 5940, 13572, 34992, 182461, 201038, …

, найбільше відоме узагальнене просте число Вудала дорівнює 17016602 × 217016602 − 1.

Примітки

Див. також Прості числа Мерсенна — прості числа виду 2n − 1.

Література

Посилання Chris Caldwell, The Prime Glossary: Woodall number at The Prime Pages.

Steven Harvey, List of Generalized Woodall простих чисел. Paul Leyland, Generalized Cullen and Numbers Woodall