У топології передбазою (або підбазою ) для топологічного простору із топологією називається підмножина топології , яка породжує , тобто є найменшою топологією, що містить .
Означення
Нехай — топологічний простір із топологією . Передбазою називається підмножина топології , яка задовольняє еквівалентним умовам:
Підмножина породжує топологію . Тобто є найменшою топологією, що містить : будь-яка топологія на , що містить також містить . Набір відкритих множин, що складається із усіх скінченних перетинів елементів , разом із множиною є базою для . Іншими словами кожна власна відкрита множина у є об'єднанням скінченних перетинів елементів . Тобто для будь-якої точки у відкритій множині є скінченна кількість множин із перетин яких містить точку і є підмножиною .
Для будь-якої підмножин булеана існує єдина топологія для якої є передбазою. Ця топологія є перетином усіх топологій на , що містять . Натомість для заданої топології може бути багато різних передбаз.
Іноді в означенні передбази вимагається щоб було покриттям .
При цьому означенні дві властивості вище не завжди є еквівалентними. Існують простори із топологією , для яких існують підмножини топології і є найменшою топологією, що містить але не є покриттям . Проте такі простори є досить екзотичними; наприклад передбаза простору, що має принаймні дві точки і задовольняє аксіому T1 є покриттям цього простору.
Приклади
Для звичайної топології дійсних усі напівнескінченні відкриті інтервали виду або , де і є дійсними числами є передбазою. Вони породжують стандартну топологію оскільки перетини для утворюють базу топології. Іншу передбазу можна отримати якщо взяти підмножину напівнескінченних інтервалів для яких і є раціональними числами. У цьому випадку відкриті інтервали де , є раціональними також утворюють базу для стандартної топології.
Передбаза із напівнескінченних відкритих інтервалів виду , де є дійсним числом не породжує стандартну топології. Породжена також передбазою топологія не задовольняє аксіому T1, оскільки всі відкриті множини мають непустий перетин.
Якщо є нескінченною множиною, то множина скінченних підмножин, із кількістю елементів , тобто
є передбазою дискретної топології, тобто топології
Ініціальна топологія на задана сім'єю функцій , де всі є топологічними просторами є найслабшою топологією на для якої всі є неперервними. Оскільки неперервність означається за допомогою прообразів відкритих множин то ініціальна топологія на породжується передбазою елементами якої є , для всіх , що є відкритими підмножинами для всіх .
Важливими окремими випадками попереднього прикладу є добуток топологічних просторів, де сім'єю функцій є множина проєкцій із добутку на кожен множник і топологічний підпростір, де сім'я складаються з єдиної функції включення.
Для компактно-відкритої топології на просторі неперервних функцій із у передбазою є, наприклад, множина елементами якої є множини функцій
для різних компактних підмножин і відкритих підмножин .
Властивості За допомогою передбаз можна дати означення неперервності: відображення f : X → Y між топологічними просторами є неперервним тоді і тільки тоді, коли для кожної множини U із передбази A топологічного простору Y, прообраз відображення f−1(U) є відкритою множиною. Теорема Александера. Нехай є топологічним простором із передбазою . Якщо кожне покриття елементами має скінченне підпокриття, то простір є компактним.
Примітки
Див. також База топології Топологічний простір
Література