У математиці, зокрема в функціональному аналізі, сингулярне значення або сингулярне число (с-число) компактного оператора , що діє між Гільбертовими просторами X і Y, це квадратні корені додатних власних значень самоспряженого оператора (де T позначає спряжений оператору T).
Сингулярні значення це невід'ємні дійсні числа, зазвичай перелічувані у спадному порядку (s1(T), s2(T), …). Найбільше сингулярне значення s1(T) рівне нормі оператора T (див. Теорема Куранта — Фішера).
У разі, якщо T діє на евклідовому просторі Rn, існує просте геометричне тлумачення сингулярних значень: Розгляньмо область значень T, якщо її область визначення це одинична сфера; це буде еліпсоїд, а довжини його півосей це сингулярні значення T (на рисунку наведено приклад в R2).
Сингулярні значення це абсолютні значення власних значень нормальної матриці A, бо можна використати спектральну теорему, щоб отримати унітарну діагоналізацію A як . Отже, .
Більшість норм операторів на Гільбертових просторах, що ми їх вивчаємо, означені за допомогою с-чисел. Наприклад, k-норма це сума перших k сингулярних значень, слідова норма це сума всіх сингулярних значень, також існує норма обчислювана як p-й корінь суми p-х степенів сингулярних значень. Зауважте, що кожна норма має місце лише на певному класі операторів, тому с-числа корисні для класифікації операторів.
У скінченновимірному випадку, матрицю завжди можна розкласти у вигляді UΣV, де U і V унітарні, а Σ це діагональна матриця із сингулярними значеннями на діагоналі. Це сингулярний розклад матриці.
Базові властивості
Для і .
Теорема Куранта — Фишера для сингулярних значень. Тут це підпростір вимірності .
Транспонування матриці як і спряження не змінюють сингулярних значень.
Для будь-яких унітарних
Зв'язок з власними значеннями:
Див. також Число обумовленості Сингулярний розклад матриці