Дельтаэдр — це багатогранник, всі грані якого є правильними трикутниками. Назву взято від грецької великої літери дельта (), яка має форму рівностороннього трикутника. Існує нескінченно багато дельтаедрів, але з них лише вісім опуклі, і вони мають 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 і 20 граней.

Нижче перелічено числа граней, ребер і вершин для кожного з восьми дельтаедрів.

Опуклі дельтаедри Всього існує 8 опуклих дельтаедрів, 3 з яких є платоновими тілами, а 5 — багатогранниками Джонсона.

У дельтаедра з 6 гранями деякі вершини мають ступінь 3, а деякі — ступінь 4. У дельтаедрів з 10, 12, 14 і 16 гранями деякі вершини мають ступінь 4, а деякі — ступінь 5. Ці п'ять неправильних дельтаедрів належать до класу правильногранних багатогранників — опуклих багатогранників з гранями у вигляді правильних багатокутників.

Не існує опуклого дельтаедра з 18 гранями. Однак є прикладом октаедра, який можна зробити опуклим з 18 неправильними гранями, або з двома наборами по три рівносторонніх трикутники, що лежать в одній площині. Правильні дельтаедри Назва Зображення Кількістьвершин Кількістьребер Кількістьграней Конфігураціявершини Група симетрії Правильний тетраедр 4 6 4 4 × 33 Td, [3,3] Правильний октаедр (чотирикутна біпіраміда) 6 12 8 6 × 34 Oh, [4,3] Правильний ікосаедр 12 30 20 12 × 35 Ih, [5,3] Дельтаедри Джонсона Трикутна біпіраміда 5 9 6 2 × 333 × 34 D3h, [3,2] П'ятикутна біпіраміда 7 15 10 5 × 342 × 35 D5h, [5,2] Кирпатий двоклиноїд 8 18 12 4 × 344 × 35 D2d, [2,2] Тричі нарощена трикутна призма 9 21 14 3 × 346 × 35 D3h, [3,2] Скручено-подовжена чотирикутна біпіраміда 10 24 16 2 × 348 × 35 D4d, [4,2]

Нестрого опуклі випадки Існує нескінченно багато дельтаедрів з копланарними (належними одній площині) трикутниками. Якщо множини копланарних трикутників вважати однією гранню, можна нарахувати менше граней, ребер і вершин. Копланарні трикутні грані можуть бути злиті в ромбічні, трапецієподібні, шестикутні або інші рівносторонні багатокутні грані. Кожна грань має бути опуклим поліамондом, таким як , , , , , , і , …

Деякі невеликі приклади +оКопланарные дельтаэдрыМалюнокНазваГранейРеберВершинКонфігурації вершинГрупа симетріїНарощення1 тетр. + 1 окт.10 1571 × 333 × 343 × 350 × 36C3v, 4 3 12Нарощення 2 тетр. + 1 окт.12 1882 × 330 × 346 × 350 × 36C3v, 6 12Нарощення2 тетр. + 1 окт.12 1882 × 331 × 344 × 351 × 36C2v, 2 2 2 117Трикутна зрізана пірамідаНарощення 3 тетр. + 1 окт.14 2193 × 330 × 343 × 353 × 36C3v, 1 3 1 96 Нарощення 2 тетр. + 2 окт.16 24100 × 334 × 344 × 352 × 36D2h, [2,2]4 4 126Тетраедр Нарощення 4 тетр. + 1 окт.16 24104 × 330 × 340 × 356 × 36Td, [3,3]4 64Нарощення 3 тетр. + 2 окт.18 27111 × 332 × 345 × 353 × 36D2h, [2,2]2 1 2 2 14918 27110 × 332 × 348 × 351 × 36C2v, 12 2 2210 Нарощення 6 тетр. + 2 окт.20 30120 × 333 × 346 × 353 × 36D3h, [3,2]2 6 159Трискатний купол Нарощення 4 тетр. + 3 окт.22 33130 × 333 × 346 × 354 × 36C3v, 3 3 1 1 159Трикутна біпіраміда Нарощення 8 тетр. + 2 окт.24 36142 × 333 × 340 × 359 × 36D3h, 6 95Шестикутна антипризма24 36140 × 330 × 3412 × 352 × 36D6d, [12,2+]12 2 2412Зрізаний тетраедрНарощення 6 тетр. + 4 окт.28 42160 × 330 × 3412 × 354 × 36Td, [3,3]4 4 1812Октаедр Нарощення 8 тетр. + 6 окт.32 24180 × 3312 × 340 × 356 × 36Oh, [4,3]8 126

Неопуклі дельтаедри Неопуклих і тороїдальних дельтаедрів існує нескінченно багато.

Приклад дельтаедра з самоперетинами граней:

Великий ікосаедр — тіло Кеплера — Пуансо, з 20 трикутниками, що перетинаються

Інші неопуклі дельтаедри можна отримати шляхом додавання пірамід до граней всіх 5 правильних багатогранників: ТриакістетраедрТетракісгексаедрТриакісоктаедр(stella octangula)ПентакісдодекаедрТриакісікосаедр12 трикутників24 трикутників60 трикутників Інші нарощення тетраедрів: +Приклади: Нарощені тетраедри8 трикутників10 трикутників12 трикутників Також шляхом додавання до граней перекинутих пірамід:

Тороїдальний дельтаедр60 трикутників48 трикутників

Примітки

Література

(Автори показали, що існує тільки 8 опуклих дельтаедрів.)