Гіпероктаедр — геометрична фігура в n-вимірному евклідовому просторі: правильний політоп, двоїстий n-вимірному гіперкубу. Інші назви: кокубЕ. Ю. Смирнов. Группы отражений и правильные многогранники. — М.: МЦНМО, 2009. — С. 44., ортоплекс, крос-політоп.
Символ Шлефлі n-вимірного гіпероктаедра— {3;3;…;3;4}, де всього в дужках (n-1) число.
Гіпероктаедр можна розуміти як кулю в метриці міських кварталів.
Часткові випадки Число вимірів n Назва фігури Символ Шлефлі Зображення 1 відрізок {} 2 квадрат {4} 3 октаедр {3; 4} 4 шістнадцятикомірник {3; 3; 4} 5 5-ортоплекс {3,3,3,4}
Опис -вимірний гіпероктаедр має вершин; будь-яка вершина з'єднана ребром з іншою — крім (при вершини, симетричної їй відносно центра політопа.
Всі його -вимірні гіперграні — однакові правильні симплекси; їх число дорівнює
Кут між двома суміжними -вимірними гіпергранями (при дорівнює .
-вимірний гіпероктаедр можна подати як дві однакові правильні -вимірних піраміди, прикладені одна до одної своїми основами у формі -вимірного гіпероктаедра.
В координатах -вимірний гіпероктаедр можна розташувати в декартовій системі координат так, щоб його вершини мали координати При цьому кожна з його -вимірних гіперграней буде розташовуватися в одному з ортантів -вимірного простору.
Початок координат буде центром симетрії політопа, а також центром його вписаної, описаної і напівуписаних гіперсфер.
Поверхня гіпероктаедра буде геометричним місцем точок, чиї координати задовольняють рівнянню
а внутрішність — геометричним місцем точок, для яких
Метричні характеристики Якщо -вимірний гіпероктаедр має ребро довжини його -вимірний гіпероб'єм і -вимірна гіперплоща поверхні виражаються відповідно як
Радіус описаної -вимірної гіперсфери (що проходить через усі вершини) при цьому дорівнює
радіус -ї напівуписаної гіперсфери (дотикається до всіх -вимірних гіперграней у їх центрах; ) —
радіус уписаної гіперсфери (дотикається до всіх -вимірних гіперграней у їх центрах) —
Примітки
Посилання