Задача Кобона про трикутник — невирішена задача з комбінаторної геометрії, яку сформулював Кодзабуро Фудзмура (Кобон), японський математик (1903—1983). Задача полягає у з'ясуванні, яке максимальне число трикутників, що не перекриваються, сторони якого належать конфігурації n прямих, можна утворити. Варіант задачі розглядається в проєктивній площині, а не в евклідовій площині, в цьому випадку вимагається, щоб трикутники не перетиналися іншими прямими.
Ідеальна конфігурація — це розташування прямих, які попарно перетинаються і кожен відрізок є стороною, а дві відповідні прямі є частиною щонайбільше двох пар трикутників, що мають спільну сторону.
Кобон знайшов найбільшу кількість трикутників , які не перекриваються та їх можна побудувати за допомогою ліній, тому трикутник Кобона визначається як один із трикутників, побудованих таким чином. Кілька перших — це 1, 2, 5, 7, 11, 15, 21, …
Аналітичний вираз для знаходження кількості трикутників вивів Сабуро Тамура.
Теорема Сабуро Тамура. забезпечує верхню межу максимальної кількості трикутників. Тому для 2,3, … перші кілька верхніх меж — це 2, 5, 8, 11, 16, 21, 26, 33, … .
Лема 1. Якщо (n mod 3) ∈ {0, 2}, то всі конфігурації, які відповідають верхній межі , є ідеальними конфігураціями. В цих випадках mod 3, а .
Лема 2. У ідеальній конфігурації усі екстремальні точки мають степінь 2.
Лема 3. Ідеальна конфігурація існує лише для непарних .
Г. Клемен та Дж. Бадер. знайшли більш чітку межу кількості трикутників Кобона:
Теорема Г. Клемена та Д. Бадера. Максимальна кількість трикутників Кобона для заданої кількості прямих в площині обмежені верхніми межами:
, де — індикатор функції. Тобто верхня межа за С.Тамури не можа бути досягнута для всіх з mod 6 mod 6.
Доведення. Відповідно до Леми 1 верхню межу можна досягти за допомогою конфігурацій, якщо mod 3 або mod 3. Але ці ідеальні конфігурації можливі тільки для непарного згідно Леми 3. Отже, для та не може досягати верхньої межі. Ці дві умови можна узагальнити як . Тоді:
А. Вайнберг знайшов конфігурацію для - 25 трикутників.
В 1967 р. конфігурацію з - 25 трикутників знайшов Б.Грюнбаум, а іншу конфігурацію - С.Хонма. Верхня межа означає, що максимум повинно бути 25 або 26 (невідомо, який). С.Хонма ілюстрував конфігурацію для - 32 трикутники, де 33 трикутники - це теоретично можливий максимум.
У 1996 році С.Грабарчуком і В.Кабановичем були знайдені два інші окремі рішення. У 1999 році В.Кабанович знайшов для , 38-трикутну конфігурацію (верхня межа дорівнює 40) і конфігурацію з 47 трикутників (яка відповідає верхній межі 47 трикутників).
Т.Судзукі знайшов конфігурацію для , яка є максимальною, оскільки вона задовольняє верхній межі .
Подальше дослідження виявило конфігурації для - 53 трикутників (верхня межа дорівнює 56), - 72 трикутники (74), а також - 85 трикутників - нове рішення, яке відповідає верхній межі.
Останній рядок таблиці показує нову прив'язку. Зірочка у рядку вказує оптимальні конфігурації на додаток до вже відомих оптимальних рішень (жирним шрифтом). +n3456789101112131415161718192021(n mod 6)3450123450123450123К(n)1257111521253238475365728593107115133Верхня межа С.Тамури1258111621263340475665748596107120133Верхня межа Г.Клемена та Д.Бадера1257111521263339475565748595107119133
Приклади
Література K. Fujimura, The Tokyo Puzzle Charles Scribner's Sons, New York, 1978. M. Gardner, Wheels, Life, and Other Mathematical Amusements. W. H. Freeman, New York, pp. 170—171 and 178, 1983. E. Pegg, Math Games: Kobon Triangles
https://sop.tik.ee.ethz.ch/publicationListFiles/cb2007a.pdf https://oeis.org/A006066