Контактне число (іноді число Ньютона, у хімії відповідає координаційному числу ) — найбільша кількість куль одиничного радіуса, які можуть одночасно дотикатися до однієї такої самої кулі в n-вимірному евклідовому просторі (вважається, що кулі не проникають одна в одну, тобто об'єм перетину двох будь-яких куль дорівнює нулю).
Слід відрізняти контактне число від контактного числа на ґратціКонтактні числа на ґратках: — аналогічного параметра для найщільнішого регулярного пакування куль. Обчислення контактного числа в загальному випадку досі є нерозв'язаною математичною задачею.
Історія В одновимірному випадку не більше двох відрізків одиничної довжини можуть дотикатися до такого ж відрізка:
У двовимірному випадку можна інтерпретувати задачу як знаходження найбільшого числа монет, що дотикаються до центральної. З малюнка видно, що можна розмістити до 6 монет:
Це означає, що . З іншого боку, кожне дотичне коло відсікає на центральному колі дугу 60°, і ці дуги не перетинаються, отже . Видно, що в даному випадку оцінки зверху і знизу збіглися і .
У тривимірному випадку йдеться про кулі. Тут також легко побудувати приклад з 12 кулями, що дотикаються до центральної — вони розташовані у вершинах ікосаедра — тому . Ця нижня оцінка була відома ще Ньютону.
Це розташування нещільне, між кулями будуть досить помітні зазори. Оцінка зверху стала причиною відомого спору між Ньютоном і Грегорі 1694 року. Ньютон стверджував, що , А Грегорі заперечував, що може статись, що можна розташувати і 13 куль. Він провів обчислення і з'ясував, що площа центральної кулі більше ніж у 14 разів перевищує площу проєкцій усіх дотичних куль, так що . Якщо ж дозволити змінювати радіуси куль на 2 %, то виявляється можливим притулити до 14 куль.
Лише 1953 року в статті і ван дер Вардена остаточно встановлено правоту Ньютона, попри відсутність у того суворого доведення.
У чотиривимірному випадку уявити собі кулі досить складно. Розміщення 24 чотиривимірних сфер навколо центральної було відоме давно. Воно настільки ж правильне, як і в двовимірному випадку і є розв'язком одночасно й задачі про контактне число на ґратці. Це те саме розміщення, що й у цілих одиничних кватерніонів.
У явному вигляді на це розташування вказав у 1900 році Госсет. Ще раніше його знайшли (в еквівалентній задачі) в 1872 році російські математики Коркін і Золотарьов Рус. пер.: . Це розташування дало оцінку знизу .
Спроби оцінити це число зверху привели до розвитку тонких методів теорії функцій, але не давали точного результату. Спочатку вдалося довести, що , Потім вдалося знизити верхню межу до 25. У 2003 році російський математик Олег Мусін довів, що .
У розмірностях 8 і 24 точну оцінку отримано в 1970-і роки. Доведення ґрунтується на рівності контактного числа і контактного числа на ґратці в цих розмірностях: ґратки E8 (для розмірності 8) і ґратки Ліча (для розмірності 24).
Відомі значення та оцінки Нині точні значення контактних чисел відомі тільки для , А також для і . Для деяких інших значень відомі верхні і нижні оцінки. Розмірність Нижня межа Верхня межа 1 2 2 6 3 12 4 24 5 40 44 6 72 78 7 126 134 8 240 9 306 364 10 500 554 11 582 870 12 840 1 357 13 1 154 2 069 14 1 606 3 183 15 2 564 4 866 16 4 320 7 355 17 5 346 11 072 18 7 398 16 572 19 10 688 24 812 20 17 400 36 764 21 27 720 54 584 22 49 896 82 340 23 93 150 124 416 24 196 560
Застосування Задача має практичне застосування в теорії кодування.
Див. також Щільне пакування рівних сфер Задача про пакування куль Відкриті математичні питання
Примітки
Посилання Контактное число шаров и сферические коды . Математические этюды.