Центровані багатокутні числа — це клас плоских -кутних фігурних чисел (), одержуваних такою геометричною побудовою. Спочатку на площині фіксується певна центральна точка. Потім навколо неї будується правильний -кутник з точками вершин, кожна сторона містить дві точки (див. малюнок). Далі зовні будуються нові шари -кутників, причому кожна їхня сторона на новому шарі містить на одну точку більше, ніж у попередньому шарі, тобто, починаючи з другого шару, кожен наступний шар містить на більше точок, ніж попередній. Загальне число точок усередині кожного шару і приймається за центроване багатокутне число (точка в центрі вважається початковим шаром).
Приклади побудови центрованих багатокутних чисел: ТрикутніКвадратніП'ятикутніШестикутні З побудови видно, що центровані багатокутні числа виходять як часткові суми такого ряду: (наприклад, центровані квадратні числа, для яких утворюють послідовність: ) Цей ряд можна записати як , звідки видно, що в дужках — породжувальний ряд класичних трикутних чисел. Отже, кожну послідовність центрованих -кутних чисел, починаючи з 2-го елементу, можна подати як де — послідовність трикутних чисел. Наприклад, центровані квадратні числа — це помножені на 4 трикутні числа плюс 1, породжувальний ряд для них має вигляд:
Загальна формула для -го центрованого числа :
Зведена таблиця Число кутів kТип числаПочаток послідовностіПосилання на OEIS3Центровані трикутні числа1, 4, 10, 19, 31, …A0054484Центровані квадратні числа1, 5, 13, 25, 41, …A0018445Центровані п'ятикутні числа1, 6, 16, 31, 51, …A0058916Центровані шестикутні числа1, 7, 19, 37, 61, …A0032157Центровані семикутні числа1, 8, 22, 43, 71, …A0690998Центровані восьмикутні числа1, 9, 25, 49, 81, …A0167549Центровані дев'ятикутні числа1, 10, 28, 55, 91, …A06054410Центровані десятикутні числа1, 11, 31, 61, 101, …A062786 і так далі.
Примітки
Література
Посилання
Фігурні числа