Теорема Александрова про опуклі многогранники — геометрична теорема про однозначність замкненого опуклого многогранника із заданими напрямами граней, доведена О. Д. Александровим у 1937 роціА. Д. Александров, Элементарное доказательство теоремы Минковского и некоторых других теорем о выпуклых многогранниках, Известия АН СССР. Сер. мат. 1, № 4, 597—606 (1937).Л. А. Люстерник, Выпуклые фигуры и многогранники. М.: ГИТТЛ, 1956.. Зазвичай її формулюють так:
Вкажемо ще одне формулювання, як легко бачити, еквівалентне попередньому. В ній функція називається монотонною функцією багатокутника , якщо вона має властивість: , якщо можна вмістити всередині .
Коментарі Для тривимірного простору теорема Александрова про опуклі многогранники узагальнює теорему єдиності Мінковського, яка стверджує, що «два рівних многогранники з попарно паралельними й рівновеликими гранями рівні й паралельно розташовані». Справді, як монотонну функцію багатокутника тут досить узяти площу. Твердження, що отримується з теореми Александрова про опуклі многогранники, якщо в ній як монотонну функцію багатокутника взяти периметр, цікаве тим, що вже понад 70 років геометри не можуть знайти відповідної теореми існування. В евклідовому просторі вимірності 2 твердження, аналогічне теоремі Александрова про опуклі многогранники, істинне, але тривіальне. В евклідовому просторі вимірності 4 (і в усіх більш високих вимірностях) твердження, аналогічне теоремі Александрова про опуклі многогранники, хибне. Як контрприклад можна взяти чотиривимірний куб з ребром 2 і чотиривимірний прямокутний паралелепіпед з ребрами 1, 1, 3, 3. Про рівність багатовимірних опуклих многогранників при умові, що їхні паралельні двовимірні грані не вміщуються, див.А. И. Медяник, Одно обобщение теоремы единственности А. Д. Александрова для замкнутых выпуклых многогранников на случай -мерного пространства, Укр. геом. сб. 8, 91—94 (1970)..
Див. також Список об'єктів, названих на честь Олександра Александрова
Примітки