Оператор Фредгольма або оператор Нетера — лінійний оператор між векторними просторами для якого ядро і коядро мають скінченні розмірності. Лінійний оператор між скінченновимірними просторами очевидно завжди є фредгольмовим. Тому інтерес становить випадок нескінченновимірних просторів. Найчастіше фредгольмові оператори розглядають для банахових просторів і гільбертових просторів і додатково вводиться умова обмеженості оператора.
Означення
Лінійний оператор між двома векторними просторами і називають оператором Фредгольма, якщо
Ядро тобто множина має скінченну розмірність Образ , тобто множина має скінченну корозмірність у . Іншими словами коядро є скінченновимірним.
Найчастіше оператори розглядають для гільбертових чи банахових просторів і тоді, як правило, додатково вводиться умова обмеженості оператора.
Множина операторів Фредгольма між просторами і позначатиметься .
Число
називається індексом Фредгольма оператора . Для скінченновимірних просторів усі лінійні оператори є фредгольмовими і для всіх операторів між скінченновимірними просторами і :
Приклади
Оператори зсуву Нехай є гільбертовим простором із ортонормальним базисом проіндексованим натуральними числами. Правий оператор зсуву на k позицій за означенням є:
Він є ін'єктивним і має корозмірність . Відповідно його індекс є рівним . Для лівого зсуву
ядро має розмірність k і оператор є сюр'єктивним, тобто індекс у цьому випадку є рівним .
Інтегральний оператор
Класичним інтегральним оператором Фредгольма називають оператор
,
де є тотожним оператором, а є цілком неперервним.
Наприклад на просторі неперервних функцій , або, більш загально, просторі функцій що є інтегровними із квадратом оператор задається як
,
де ядро інтегрування є неперервним або квадратно інтегровним. Цей оператор є оператором Фредгольма з індексом 0. У теорії інтегральних рівнянь Фредгольма вивчаються рівняння . Ключовим результатом теорії є альтернатива Фредгольма.
Тензорний добуток оператора Фредгольма і ізоморфізму Якщо є оператором Фредгольма над довільним комплексним векторним простором, а є лінійним ізоморфізмом, то і також
Тому теж є оператором Фредгольма і
Властивості Всюди розглядається обмежений оператор Фредгольма між банаховими просторами.
Образ (обмеженого) оператора Фредгольма між банаховими просторами є замкнутим підпростором. Якщо є оператором Фредгольма, то для скінченновимірного підпростору існує замкнутий підпростір у для якого . Обмеження оператора на цей підпростір є бієктивним оператором для якого обернений оператор теж є обмеженим. Таким чином для існує неперервний обернений оператор за винятком підпросторів скінченної розмірності. Спряжений до оператора Фредгольма оператор теж є фредгольмовим: і для індексів цих операторів: Композиція фредгольмових операторів є оператором Фредгольма з індексом Для (обмеженого) оператора Фредгольма: і цілком неперервного оператора оператор теж є фредгольмовим і Якщо на комутативній діаграмі із довільними векторними просторами і лінійними відображеннями між ними:
обидва рядки є точними послідовностями і і є операторами Фредгольма, то і є оператором Фредгольма і Із попереднього, якщо (тобто є цілком неперервним), а то є оператором Фредгольма індекс якого є рівним 0 (оскільки оборотний оператор є очевидно фредгольмовим із індексом 0). Навпаки, будь-який фредгольмів оператор індексу 0 є сумою оборотного і цілком неперервного операторів. Властивість Фредгольма і індекс також зберігаються при досить малих обмежених збуреннях, тобто . Інакше кажучи, множина є відкритою у множині обмежених операторів. Індекс Фредгольма є константою на кожній компоненті зв'язності множини . Згідно теореми Аткінсона оператор є фредгольмовим, якщо і тільки якщо існують оператори і цілком неперервні оператори такі, що і . Якщо є оператором Фредгольма, то існує , що для всіх для яких виконуються нерівності:
und
Зокрема є оператором Фредгольма із індексом .
Див. також Інтегральний оператор Фредгольма Теорія_Фредгольма Цілком неперервний оператор
Джерела