Скінченнови́мірний про́стір — це векторний простір, у якому є скінченний базис — породжувальна (повна) лінійно незалежна система векторів. Іншими словами, в такому просторі існує скінченна лінійно незалежна система векторів, лінійною комбінацією яких можна подати будь-який вектор даного простору.
Базис — це (одночасно) і мінімальна породжувальна (повна) система, і максимальна лінійно незалежна система векторів. Всі базиси містять однакову кількість елементів, яку називають розмірністю векторного простору.
Скінченновимірний простір, у якому введено скалярний добуток його елементів, називають евклідовим. Скінченновимірний простір, у якому введено норму його елементів, називають скінченновимірним нормованим. Наявність скалярного добутку або норми породжує в скінченновимірному просторі метрику.
Властивості скінченновимірних просторів Кожен елемент скінченновимірного простору можна подати єдиним чином у вигляді
де — поле (часто або ), над яким розглядається простір , — елементи базису. Це випливає з визначення базису.
Також будь-який базис в евклідовому просторі можна зробити ортонормованим за допомогою ортогоналізації Шмідта.
Всі базиси скінченновимірного простору складаються з однакової кількості елементів. Ця властивість дає коректність визначення розмірності простору. Нехай — скінченновимірний простір і — лінійно-незалежна система елементів. Тоді цю систему завжди можна доповнити до базиса. Всі скінченновимірні простори однакової розмірності ізоморфні один одному. В будь-якому скінченновимірному просторі над полем можна ввести скалярний добуток. Наприклад, у просторі із фіксованим базисом, розмірності , можна ввести скалярний добуток за правилом: , де — компоненти векторів і відповідно.Із цієї властивості випливає, що в скінченновимірному просторі над полем можна ввести норму і метрику. Як наслідок, можна отримати що: — рефлексивний простірЦей факт можна отримати як за допомогою теореми Ріса — Фреше, так і прямими викладками, без використання теорії гільбертових просторів.. Простір , спряжений до деякого скінченновимірного простору , скінченновимірний і його розмірність збігається з розмірністю . Для будь-якого підпростору скінченновимірного простору існує підпростір часто називають ортогональним доповненням до такий, що і розкладається в пряму суму і , . В евклідовому просторі кожна слабко збіжна послідовність збігається сильно. Всі норми у скінченновимірному просторі над полем еквівалентні. Збіжність у евклідовому просторі еквівалентна покоординатній збіжності. Кожен лінійний неперервний оператор у скінченновимірному просторі можна подати у вигляді матриці. Простір над полем є скінченновимірним тоді й лише тоді, коли одиничний оператор є цілком неперервним. Простір є скінченновимірним тоді й лише тоді, коли знайдеться оборотний цілком неперервний оператор, що діє над . Простір є скінченновимірним тоді й лише тоді, коли одинична куля в передкомпактна. Цю властивість можна переформулювати так: простір є скінченновимірним тоді й лише тоді, коли будь-яка обмежна в множина передкомпактна. Будь-який лінійний оператор , визначений у скінченновимірному просторі є неперервним і навіть цілком неперервним. У скінченновимірному просторі кожен оператор є унітарним тоді й лише тоді, коли він ізометричний, тобто зберігає скалярний добуток.
Приклади
Евклідів простір має розмірність 3, за його базис можна вибрати трійку векторів
Загальніший випадок — простору розмірності n. Норму в них зазвичай задають одним з таких способів ():
або
Якщо ввести норму і скалярний добуток то простір буде евклідовим.
— простір усіх многочленів степеня не вище . Розмірність цього простору . Многочлени утворюють у ньому базис. Нехай — довільний лінійний простір і нехай деяка лінійно-незалежна система векторів. Тоді лінійна оболонка, натягнута на цю систему є скінченновимірним простором.
Див. також Нескінченновимірний простір
Примітки
Література