Група з операторами(чи Ω-група) — в абстрактній алгебрі це алгебрична структура, що є групою з множиною Ω, яка діє на елемпенти групи.
Група з операторами вивчалась Еммі Нетер і її учнями в 1920-их. Вона використала її в теоремах про ізоморфізми.
Визначення Група з операторами це група з дією множини на :
що є дистрибутивною до операції групи:
Для кожного , операція є ендоморфізмом G. Отже Ω-група може розглядатись як група G з індексованим сімейством ендоморфізмів G.
називається областю визначення операторів. асоційовані ендоморфізми називаються гомотетіями G.
Для двох груп G, H з однаковою , гомоморфізм груп з операторами це гомоморфізм груп , що задовільняє для всіх та
Підгрупа S в G називається стабільною підгрупою, -підгрупою чи -інваріантною підгрупою якщо вона зберігає гомотетії, тобто: для всіх та
Теорія категорій В теорії категорій, група з операторами може бути визначена як об'єкт категорії функторів GrpM, де M — моноїд (тобто категорія з одним об'єктом), а Grp — категорія груп.
Морфізм в цій категорії, це натуральне перетворення між двома функторами (тобто, дві групи з операторами мають одну й ту ж саму область визначення операторів M).
Група з операторами також є відображенням
де є множиною ендоморфізмів групи G.
Приклади Довільна група G, (G, ∅) є групою з операторами. module M над кільцем R, R задає кратність (множення на скаляр) для елементів абелевої групи M, тому (M, R) є групою з операторами. Як частковий випадок попереднього: векторний простір над полем k є групою з операторами (V, k).
Див. також Дія групи Композиційний ряд
Джерела