Векторна міра — адитивна функція множин, визначена на кільці множин зі значеннями в нормованому просторі. Є узагальненням понять міри, заряду і комплексної міри. Для векторних мір, як і для мір, визначено поняття інтегралу.

Означення Якщо є алгеброю множин, а - нормованим простором, то функція , що задовольняє умову

для всіх множин що мають порожній перетин називається векторною мірою

Якщо є σ-алгеброю то функція називається зліченно адитивною (σ-адитивною) векторною мірою, якщо для кожної послідовності множин із , що попарно не перетинається:

Варіація і напівваріація Нехай є векторною мірою, а позначає різні скінченні підмножини із і для кожної її елементи попарно не перетинаються і Функція задана як

називається варіацією векторної міри

Функція задана як

називається напівваріацією векторної міри

Векторна міра має скінченну варіацію якщо її на усьому просторі є скінченною.

Властивості Якщо є σ-алгеброю пімножин a є зліченно адитивною функцією множин, до де є відповідно додатною і від'ємною варіаціями. Варіація векторної міри є адитивною функцією множин. Варіація зліченно адитивної векторної міри є мірою. Напівваріація векторної міри є субадитивною та монотонною функцією множин. Якщо є векторною мірою, то Векторна міра з обмеженою варіацією є зліченно адитивною тоді й лише тоді, коли її варіація є зліченно адитивною. Нехай (σ-алгебра, породжена алгеброю ). Якщо є зліченно адитивною векторною мірою з обмеженою варіацією, то для кожного виконується рівність: Якщо варіація векторної міри є скінченною мірою, то є зліченно адитивною векторною мірою. Множина значень σ-адитивної векторної міри є обмеженою.

Приклади

Зліченно адитивна векторна міра. Нехай є неперервним лінійним оператором. Тоді можна ввести скінченно адитивну міру значення якої lля кожної вимірної (у сенсі Лебега) множини є рівним:

де — характеристична функція. Також для кожного де — міра Лебега. Тоді також що доводить, що є векторною мірою із скінченною варіацією.

Векторна міра із скінченною напівваріацією але нескінченною варіацією. Нехай є σ-алгеброю підмножин Лебера множини . Функція , задана як

для має скінченну напівваріацію але нескінченну варіацію.

Векторна міра із нескінченною варіацією. Нехай Функція задана як

має необмежену варіацію.

Див. також Заряд (теорія міри) Комплексна міра Міра множини

Література

Kluvánek, I., Knowles, G, Vector Measures and Control Systems, North-Holland Mathematics Studies 20, Amsterdam, 1976.