+ Деякі найбільш відомі додекаедриI, порядок 120Правильний додекаедрМалий зірчастий додекаедрВеликий додекаедрВеликий зірчастий додекаедрT, порядок 24T, порядок 12, порядок 48Многогранник Джонсона (J)ПіритоедрТетартоїдРомбододекаедр, порядок 16, порядок 12Ромбо-квадратний додекаедрРомбо-трикутний додекаедр
Дванадцятигранник або додекаедр (дав.-гр. δωδεκάεδρον (dōdekáedron) ; від (dṓdeka) — дванадцять і (hédra) — грань) — довільний многогранник із дванадцятьма гранями.
Існує 6 384 634 топологічно різних опуклих додекаедрів, не враховуючи тих, що отримані шляхом дзеркального відбиття, з кількістю вершин від 8 до 20.
(Два многогранники вважають «топологічно різними», якщо вони мають різну структуру розташування граней і вершин, так що неможливо перетворити один в інший, просто змінивши довжини ребер або кути між ребрами чи гранями).
Найбільш відомий додекаедр — це правильний додекаедр, всі грані якого є правильними п'ятикутниками. Він є найбільш симетричним з усіх опуклих додекаедрів, має ікосаедричну симетрію I, порядок 120.
Деякі додекаедри мають таку ж комбінаторну структуру, як і правильний додекаедр (в сенсі графа, утвореного його вершинами і ребрами), але їх п'ятикутні грані не є правильними:
— піритоедр, поширена кристалічна форма піриту, має піритоедричну симетрію T,
— тетартоїд має хіральну тетраедричну симетрію T.
Ромбододекаедр можна розглядати як граничний випадок піритоедра, і він має O. Ромбододекаедр є , зоноедром а також двоїстим до кубооктаедра (напівправильного многогранника Архімеда).
(або подовжений додекаедр, або гексоромбододекаедр), а також ромбододекаедр можуть утворювати стільники, що замощують тривимірний простір без проміжків та накладень.
Правильний додекаедр
Опуклий правильний додекаедр є одним з п'яти правильних многогранників Платона і може бути представлений своїм символом Шлефлі як {5, 3}, тобто кожна вершина оточена трьома правильними п'ятикутними гранями.
Двоїстим многогранником до правильного додекаедра є правильний ікосаедр {3, 5}, кожна вершина якого оточена п'ятьма правильними трикутними гранями.
Опуклий правильний додекаедр має три зірчасті форми; всі три є правильними зірчастими многогранниками Кеплера — Пуансо. Їх гранями є правильні п'ятикутники та правильні пентаграми.
+ Зірчасті форми правильного додекаедраОпуклий правильний додекаедрМалий зірчастий додекаедр {5/2, 5}Великий додекаедр {5, 5/2}Великий зірчастий додекаедр {5/2, 3} Характерною особливістю правильного додекаедра (також і правильного ікосаедра) є наявність в нього осей обертової симетрії 5-го порядку, які не дозволені правилами кристалографії , тобто в природі не існує кристалів мінералів, що мають форму правильного додекаедра. Проте можна зустріти квазікристали у формі правильного додекаедра (наприклад, квазікристал гольмій — магній — цинку (Ho-Mg-Zn)). Також існують мінерали, що мають форму додекаедра з неправильними гранями (наприклад, пірит).
Додекаедри з п'ятикутними гранями В кристалографії в деяких класах симетрії кубічної кристалічної системи можуть траплятися два основних види додекаедрів, які топологічно еквівалентні правильному додекаедру, але мають менший порядок симетрії (тобто менш симетричні): піритоедр з піритоедричною симетрією і тетартоїд з хіральною тетраедричною симетрією:
Піритоедр Піритоедр Натисніть тут, щоб подивитися обертання моделіВластивостіОпуклий, гране-транзитивнийКомбінаторикаЕлементи12 п'ятикутних граней 30 ребер (6 + 24) 20 вершин (8 + 12) (3-го степеня)Грані12 Рівнобедрених п'ятикутниківХарактеристика ЕйлераКласифікаціяДіаграма Коксетера-Динкіна (або o4p3p)Група симетріїTh,[4,3+], (3*2), порядок 24 (Піритоедрична симетрія)Група обертаньT, [3,3]+, (332), порядок 12Двоїстий многогранникІкосаедр з піритоедричною симетрією Розгортка
Піритоедр (або пентагондодекаедр ,) — це додекаедр з піритоедричною симетрією (Th). Має 12 конгруентних п'ятикутних дзеркально-симетричних граней (тобто симетричних відносно осі, що проходить через вершину і середину протилежної сторони).
Має 20 вершин, розділених на два типи; в кожній вершині сходяться три грані.
Його 30 ребер також розділені на два типи — 24 і 6 ребер однакової довжини.
Єдиними осями обертової симетрії є три взаємно перпендикулярні осі 2-го порядку та чотири осі 3-го порядку. Осі симетрії п'ятого порядку відсутні, що дозволяє цьому многограннику бути формою для кристалів. Зокрема, форму піритоедру має кристал мінералу піриту.
Кристал піриту Кристал піриту найчастіше зустрічається у двох поширених кристалічних формах — піритоедр та куб. У піриту, що має форму піритоедру, грані мають індекс Міллера {2,1,0}, що означає, що двогранний кут становить 2·arctan(2) ≈ 126,87°, а кути кожної п'ятикутної грані становлять: кут ≈ 121,6° розташований між двома кутами ≈ 106,6° і навпроти двох кутів ≈ 102,6°. Наступні формули описують розміри граней ідеального кристала (який рідко зустрічається в природі).
де — довжина короткого ребра многогранника; — довжина довгого ребра.
Декартові координати вершин Вісім вершин, що формують вершини куба, вписаного в многогранник, мають координати: (±1, ±1, ±1). При цьому довжина ребер куба дорівнює 2.
Координати інших дванадцяти вершин:
(0, ±(1 + h), ±(1 − h2)), (±(1 + h), ±(1 − h2), 0) та (±(1 − h2), 0, ±(1 + h)).
де h — висота клиноподібного «даху» над гранями куба.
При h = 0 отримаємо вироджений піритоедр, що має форму куба, але з додатковими вершинами та ребрами на його гранях.
При h = (чверть довжини ребра куба), отримаємо «бездоганний» (з геометричної точки зору) кристал природного піриту. Також в цьому випадку многогранник є піритоедром у моделі Вейра — Фелана.
При h = = = 0.618…, отримаємо правильний додекаедр.
При h = 1 отримаємо вироджений піритоедр, у якого деякі вершини збігаються, а ребра між ними зменшуються до нульової довжини; він приймає форму ромбдодекаедра.
Геометричні варіації Піритоедр має деякий ступінь свободи у геометричній будові; при цьому на одній межі маємо куб, коли певні ребра стають колінеарними одне до одного, а на іншій межі маємо ромбододекаедр, коли 6 ребер вироджуються до нульової довжини. Правильний додекаедр являє собою особливий проміжний випадок, коли всі ребра і кути рівні.
Можна перетнути ці граничні випадки, та отримати при цьому неопуклі піритоедри.
Перетнувши нижню межу опуклого піритоедру, що має вигляд куба, отримаємо неопуклі його форми; неопуклий піритоедр з рівними сторонами (ендо-додекаедр) в поєднанні з опуклим правильним додекаедром може утворювати стільники, що замощують тривимірний простір без проміжків та накладень.
Продовжуючи деформацію многогранника у цьому напрямку, ми проходимо через вироджений випадок, коли дванадцять вершин збігаються в центрі, і переходимо до правильного великого зірчастого додекаедра, в якого всі ребра і кути знову рівні, а грані приймають форму правильних пентаграм.
Перетнувши верхню межу опуклого піритоедру, що має вигляд ромбододекаедра, отримаємо неопуклий рівносторонній додекаедр з рибоподібними рівносторонніми п'ятикутними гранями з самоперетином. Анімації Стільники з чергуванням опуклих і увігнутих піритоедів з висотами h в межах ± Піритоедри з висотами між h = 0 (куб)та h = 1 (ромбододекаедр)
Окремі випадки піритоедрів Версії з висотами, що рівні по модулю але з протилежними знаками спільно утворюють стільники. (Див. анімацію). Показано співвідношення довжин ребер, а саме тих, що належать до набору з 24 ребер (що перетинаються в вершинах куба) до тих, що належать до набору з 6 ребер (відповідають граням куба). Відношення1 : 10 : 11 : 12 : 11 : 10 : 11 : 1 h − −1 0 1 −1.618… −0.618… 0.618… 1.618… Зображення Великий зірчастий додекаедр, грані якого є правильними пентаграмамиВироджений випадок з 12-ма вершинами многогранника в його центріНеопуклий рівносторонній піритоедр (додекаедр).Куб з додатковими вершинами та ребрами на його ребрах та гранях відповідно (як показано на рисунку) є граничним випадком опуклого піритоедра.Правильний додекаедр є проміжним випадком з рівними ребрами та кутами.Ромбододекаедр є граничним випадком опуклого піритоедра, коли 6 його ребер зменшуються до нульової довжини.Рівносторонній додекаедр з гранями, що мають самоперетин.
Тетартоїд Тетартоїд Тетрагональний п'ятикутний додекаедр Натисніть тут, щоб подивитися обертання моделіВластивостіОпуклий, гране-транзитивнийКомбінаторикаЕлементи12 п'ятикутних граней 30 ребер (6+12+12) 20 вершин (4+4+12) (3-го степеня)Грані12 п'ятикутниківХарактеристика ЕйлераКласифікаціяПозначенняgT (в )Діаграма Коксетера-Динкіна (або p3p3p)Група симетріїT,[3,3]+, (332), порядок 12 (Хіральна тетраедрична симетрія)Двоїстий многогранникІкосаедр з тетраедричною симетрією (або кирпатий тетраедр)
Тетартоїд (також тетрагональний п'ятикутний додекаедр , пентагонтритетраедр і тетраедричний пентагондодекаедр) — це додекаедр з хіральною тетраедричною симетрією (Т).
Має 12 конгруентних п'ятикутних граней.
Має 20 вершин, розділених на три типи; в кожній вершині сходяться три грані.
Його 30 ребер також розділені на три типи — 12, 12 і 6 ребер однакової довжини.
Осі обертової симетрії 5-го порядку відсутні, що дозволяє цьому многограннику бути формою для кристалів.
Назва тетартоїд має грецьке коріння, та означає «четверта частина», оскільки він має одну четверту від повної і половину піритоедричної симетрії.
Таку форму симетрії (пентагон-тритетраедричну) може мати мінерал кобальтин.
Тетартоїд має два вироджених граничних випадки, які топологічно еквівалентні самому многограннику та мають його симетрію. Вони являють собою з одного боку — куб з додатковими ребрами на гранях (але не колінеарними до його ребер) та додатковими вершинами на ребрах куба; з іншого боку — тетраедр, кожне ребро якого поділено на три частини і кожна з двох нових вершин з'єднується з центром грані. (В це є скручений тетраедр).
Зв'язок з Тетартоїд можна утворити, збільшивши розміри 12 з 24 граней диакіс додекаедра. ,
(Зображений тут тетартоїд отримано шляхом збільшення розмірів 24 з 48 граней (або дисдакіс додекаедра)). Модель кристалу праворуч являє собою тетартоїд, утворений шляхом збільшення синіх граней ядра дисдакіс додекаедра. Тому ребра між синіми гранями покрито червоними каркасними ребрами.
Декартові координати вершин Наступні точки є вершинами п'ятикутника тетартоїда з тетраедричною симетрією: (a, b, c); (−a, −b, c); (−, −, ); (−c, −a, b); (−, , ), при наступних умовах:The Tetartoid. Demonstrations.wolfram.com. Retrieved on 2016-12-02. , n = a2c − bc2, d1 = a2 − ab + b2 + ac − 2bc, d2 = a2 + ab + b2 − ac − 2bc, .
Геометричні варіації
Правильний додекаедр є тетартоїдом, всі грані якого правильні п'ятикутники, тобто він має більш розширену симетрію, ніж необхідно для тетартоїда.
Триакіс тетраедр є виродженим тетартоїдом, у якого 12 ребер зменшені до нульової довжини. (На рисунку основної таблиці вище: білі вершини і зелені ребра поглинуться зеленими вершинами.)
Варіації тетартоїда від правильного додекаедра до триакіс тетраедра
Двоїстий многогранник до скрученого трисхилого біантикупола
Ще одним прикладом додекаедра з п'ятиткутними гранями є двоїстий многогранник до трисхилого повернутого біантикупола, тобто многогранника, що отриманий шляхом з'єднання двох трисхилих антикуполів основами в повернутій орієнтації.
Цей многогранник має симетрію, порядку 12. Його грані — дві групи з трьох конгруентних п'ятикутних граней розділені поясом з 6-ти конгруентних п'ятикутних граней, які поєднані між собою з чергуванням орієнтації.
Ромбододекаедр
Ромбододекаедр — це додекаедр, що має дванадцять ромбічних граней та володіє . Він є зоноедром, а також двоїстим до квазіправильного кубооктаедра (архімедового тіла); зустрічається в природі у вигляді кристалів. Ромбододекаедр утворює стільники, що заповнюють тривимірний простір без проміжків та накладень.
Ромбододекаедр можна розглядати як вироджений піритоедр, у якого 6 певних ребер зменшені до нуля, а отже, п'ятикутники перетворюються на ромбічні грані.