Поліга́мма-фу́нкція порядку m у математиці визначається як (m+1)-ша похідна натурального логарифма гамма-функції,

де  — гамма-функція, а

— дигамма-функція, яку також можна визначити через суму такого ряду:

де  — стала Ейлера — Маскероні. Це подання справедливе для будь-якого комплексного (у зазначених точках функція має сингулярності першого порядку).

Полігамма-функцію також можна визначити через суму ряду

який виходить із подання для дигамма-функції диференціюванням за z. Це подання також справедливе для будь-якого комплексного (у зазначених точках функція має сингулярності порядку (m+1)). Його можна записати через дзета-функцію Гурвіца,

У цьому сенсі дзета-функцію Гурвіца можна використати для узагальнення полігамма-функції на випадок довільного (нецілого) порядку m.

Зазначимо, що в літературі іноді позначають як або явно вказують штрихи для похідних за z. Функцію називають тригамма-функцією,  — тетрагамма-функцією,  — пентагамма-функцією,  — гексагамма-функцією, і т. д.

Інтегральне подання Полігамма-функцію можна подати як

Це подання справедливе для і . При m=0 (для дигамма-функції) інтегральне подання можна записати у вигляді

де  — стала Ейлера — Маскероні.

Асимптотичні розклади При () справедливий такий розклад із використанням чисел Бернуллі:

Розклад у ряд Тейлора поблизу аргументу, рівного одиниці, має вигляд

де ζ позначає дзета-функцію Рімана. Цей ряд збігається при |z| < 1, і його можна отримати з відповідного ряду для дзета-функції Гурвіца.

Часткові значення Значення полігамма-функції при цілих і напівцілих значеннях аргументу виражаються через дзета-функцію Рімана,

а для дигамма-функції (при m=0) —

де  — стала Ейлера — Маскероні.

Щоб отримати значення полігамма-функції за інших цілих (додатних) і напівцілих значень аргументу, можна використати рекурентне співвідношення, наведене нижче.

Інші формули Полігамма-функція задовольняє рекурентне співвідношення

а також формулу доповнення

Для полігамма-функції кратного аргументу існує така властивість:

а для дигамма-функції () до правої частини треба додати ,

Див. також Дигамма-функція Тригамма-функція

Примітки

Посилання