У математиці подвійне число Мерсенна — це число Мерсенна у формі
де p є простим.
Приклади Перші чотири члени послідовності подвійних чисел Мерсенна єChris Caldwell, Mersenne Primes: History, Theorems and Lists at the Prime Pages. ():
Подвійні прості числа Мерсенна
Подвійне число Мерсенна, яке є простим, називається подвійним простим числом. Оскільки число Мерсенна Mp може бути простим, лише якщо p є простим (див. для доказу), подвійне число Мерсенна Число може бути простим, лише якщо Mp саме по собі є простим числом Мерсенна. Для перших значень p, для яких Mp є простим, , як відомо, просте для p = 2, 3, 5, 7, тоді як явні дільники були знайдені для p = 13, 17, 19 та 31
Розклад 23просте737просте127531просте21474836477127просте17014118346046923173168730371588410572711не простене просте47 × 131009 × 178481 × 724639 × 2529391927 × 70676429054711 × 618970019642690137449562111 × …138191не просте338193759479 × 210206826754181103207028761697008013415622289 × …17131071не просте231733529 × 64296354767 × …19524287не просте62914441 × 5746991873407 × 2106734551102073202633922471 × 824271579602877114508714150039 × 65997004087015989956123720407169 × …23не простене просте2351 × 4513 × 13264529 × 76899609737 × …29не простене просте1399 × 2207 × 135607 × 622577 × 16673027617 × 4126110275598714647074087 × …312147483647не просте295257526626031 × 87054709261955177 × 242557615644693265201 × 178021379228511215367151 × …37не простене просте41не простене просте43не простене просте47не простене просте53не простене просте59не простене просте612305843009213693951невідомо
Таким чином, найменшим кандидатом на наступне подвійне просте число Мерсенна є , або 22305843009213693951 − 1. Будучи приблизно 1,695, це число занадто велике для будь-якого відомого на даний момент теста простоти. У нього немає основного дільника нижче 4 × 1033.Tony Forbes, A search for a factor of MM61. Progress: 9 October 2008 . This reports a high-water mark of 204204000000×(10019 + 1)×(261 − 1), above 4×1033. Retrieved on 2008-10-22. Є імовірність, що немає інших подвійних простих чисел Мерсенна, крім чотирьох відомих.I. J. Good. Conjectures concerning the Mersenne numbers. Mathematics of Computation vol. 9 (1955) p. 120-121 [retrieved 2012-10-19]
Найменшими простими множниками (де p є n-им простим) є :7, 127, 2147483647, 170141183460469231731687303715884105727, 47, 338193759479, 231733529, 62914441, 2351, 1399, 295257526626031, 18287, 106937, 863, 4703, 138863, 22590223644617, … (наступний терм > 4 × 1033) ()
Гіпотеза про число Каталана–Мерсенна
Рекурсивно визначена послідовність
називається послідовністю чисел Каталана-Мерсенна. Першими членами послідовності є ():
Ежен Шарль Каталан відкрив цю послідовність після відкриття простоти Едуаром Люка у 1876. (probably collected by the editor). Almost all of the questions are signed by Édouard Lucas as is number 92: The footnote (indicated by the star) written by the editor Eugène Catalan, is as follows: Каталан припустив, що вони є простими «до певної межі». Хоча перші п'ять членів є простими, жодні відомі методи не можуть довести, що будь-які подальші члени є простими (у будь-який розумний час) просто тому, що вони занадто великі. Однак, якщо не є простим, є шанс виявити це, обчисливши за невеликим простим модулем (з використанням рекурсивного ). Якщо отриманий залишок дорівнює нулю, представляє дільник і, це таким чином, спростує його простоту. Оскільки є числом Мерсенна, такий простий множник мав би мати вигляд . Крім того, оскільки є складеним, коли є складеним, виявлення складеного члена в послідовності виключає можливість будь-яких інших простих чисел в послідовності.
У масовій культурі У фільмі Futurama Звір з мільярдом спин, подвійне число Мерсенна коротко видно у «елементарному доказі гіпотези Гольдбаха ». У фільмі це число відоме як «марсіанське просте».
Див. також
Числа Ферма Досконале число Просте число Віферіха
Примітки
Джерела
Tony Forbes, A search for a factor of MM61. Status of the factorization of double Mersenne numbers Double Mersennes Prime Search Operazione Doppi Mersennes