Рівняння Джинса — система диференціальних рівнянь з частинними похідними, що описує рух сукупності зір у гравітаційному полі. Рівняння Джинса пов'язують моменти швидкості другого порядку з густиною та потенціалом зоряної системи для беззіткненних систем. Вони є аналогом рівнянь Ейлера в гідродинаміці та можуть бути виведені з беззіткненного рівняння Больцмана. Їх широко застосовують в аналітичних і чисельних дослідженнях систем із великою кількістю гравітаційно зв'язаних об'єктів, наприклад, для моделювання зоряної динаміки в галактиках або зоряних скупченнях.
Історія Рівняння Джинса першим вивів Джеймс Клерк Максвелл. Проте до астрономії їх вперше застосував Джеймс Джинс у 1915 році під час досліджень зоряної динаміки. Відтоді було знайдено численні аналітичні та чисельні розв'язки цих рівнянь. Серед найвідоміших — сферично-симетричний розв'язок, який у 1983 році отримав Джеймс Бінні, а також осесиметричні розв'язки, знайдені Річардом Арнольдом у 1995 році.
Математичний опис
Виведення з рівняння Больцмана Беззіткненне рівняння Больцмана, також відоме як рівняння Власова, є окремим випадком й має вигляд
.
Або у векторній формі:
Поєднання рівняння Власова з рівняння Пуассона для гравітації:дає рівняння Джинса.
Докладніше, нехай n = n(x,t) — густина зір у просторі як функція координати x = (x1, x2, x3) і часу t, v = (v1, v2, v3) — швидкість, а Φ = Φ(x,t) — гравітаційний потенціал. Тоді рівняння Джинса можна записати так:
Тут позначення ⟨…⟩ означає середнє значення в заданій точці простору й момент часу (x,t). Наприклад, — це середнє значення першої компоненти швидкості зір у певній точці простору в певний момент часу. Другу систему рівнянь також можна записати у вигляді
де просторова частина тензора енергії-імпульсу визначається як і характеризує дисперсію швидкості за компонентами i та j у заданій точці.
Слід зауважити, що рівняння Джинса містять дев'ять невідомих величин (три середні компоненти швидкості та шість компонент тензора напружень), але лише три рівняння. Тому система рівнянь Джинса не є замкненою. Для розв'язання конкретних задач доводиться робити додаткові припущення щодо тензора напружень.
Сферичні рівняння Джинса Одне з найважливіших застосувань рівнянь Джинса стосується сферично-симетричних гравітаційних систем. У сферичній системі координат ці рівняння мають вигляд:
Якщо припустити, що тензор напружень є діагональним і , то ці рівняння можна звести до одного спрощеного рівняння:
.
І в цьому випадку залишаються дві невідомі функції ( і ), тому для розв'язання рівняння необхідно зробити додаткові припущення. Див. також
Теорема Джинса
Примітки