У теорії ймовірностей, дробовий броунівський рух, також відомий як фрактальний броунівський рух, є узагальненням броунівського руху.
На відміну від класичного броунівського руху, прирости дробового не обов’язково будуть незалежними.
Дробовий броунівський рух — це гауссівський процес з неперервним часом на , який починається з нуля, має нульове математичне сподівання для всіх з , і має наступну коваріаційну функцію:
де — це дійсне число з , яке називають індексом або параметром Херста, асоційованим із .
Індекс Херста визначає грубість траекторій процесу, при цьому більше значення призводить до більш плавного руху.
Вперше дробовий броунівський рух з'являється у праці Мандельброта і Ван Несса (1968).
Значення визначає тип дробового броунівського руху:
якщо , то процес є звичайним броунівським рухом і має незалежні прирости;
якщо , то прирости процесу мають додатню кореляцію;
якщо , то прирости процесу від'ємну кореляцію.
Процес приростів, , називають дробовим гаусівським шумом.
Як і звичайний броунівський рух, названий на честь біолога 19 століття Роберт Броуна; дробовий гаусівський шум названий на честь математика Карла Фрідріха Гаусса.
Історя та означення До появи дробового броунівського руху використовував для визначення процесу
де інтегрування відбувається відносно .
Цей інтеграл виявляється погано придатним для застосувань дробового броунівського руху .
Натомість треба використати інший дробовий інтеграл за білим шумом, який називають інтегралом Вейля
для (та аналогічно для ).
Властивості
Самоподібність Процес є самоподібним, оскільки в термінах розподілу імовірностей:
Ця властивість пов’язана з тим, що коваріаційна функція є однорідною порядку , і може розглядатися як фрактальна властивість.
Стаціонарність приростів Процес має стаціонарні прирости:
Дробовий броунівський рух можна визначити іншим (еквівалентним) чином як самоподібний гауссівський процес із нульовим середнім, що починається з нуля та має стаціонарні прирости.
Залежність на великих проміжках Для :
Регулярність Траєкторії дробового броунівського руху майже напевно не диференційовні.
Тим не менш, майже всі траєкторії є локально гельдерові будь-якого порядку, строго меншого за індекс Херста : для кожної такої траєкторії, для будь-якого та для будь-якого існує (випадкова) константа така, що для всіх
Траєкторії Траєкторії дробового броунівського руху можна моделювати на комп'ютері , проте це будуть лише наближення, які можна сприймати як скінченний набір значень процесу. Три траєкторії з 1000 точок та індексом Херста рівним подано нижче.
Нижче подано траєкторії з 1000 точок, але для різних індексів Херста. Чим більше індекс, тим гладкіша крива утворюється. Це відбувається в наслідок корельованості приростів.
Перший спосіб моделювання Траєкторії можна змоделювати за допомогою методів генерації стаціонарних гаусових процесів з відомою коваріаційною функцією.
Найпростіший спосіб покладається на розклад Холецького коваріаційної матриці (пояснено нижче), яка на сітці розміром має складність порядку . Більш складним, але швидшим для обчислень є метод , який застосовує циркулянт.
Припустімо, що ми хочемо змоделювати значення процесу в моменти часу за допомогою розкладу Холецького.
Сформуємо матрицю , де .
Обчислимо --- квадратний корінь з матриці , тобто . Грубо кажучи, — це матриця «стандартного відхилення», пов’язана з коваріаційною матрицею .
Побудуємо вектор з чисел, отриманих як незалежні випадкові величини із стандартним гаусовим розподілом.
Якщо ми визначимо , то є шуканим наближенням.
Розклад Холецького потрібен для обчислення . Альтернативний метод використовує власні значення матриці :
Оскільки є симетричною, невід'ємно визначеною матрицею, то всі власні значення з задовільняють , ( ).
Нехай буде діагональною матрицею власних значень, тобто , де — символ Кронекера. Ми визначаємо як діагональну матрицю з елементами , тобто .
Зауважимо, що результат є дійсним числом, оскільки .
Нехай є власним вектором, пов’язаним із власним значенням . Визначимо як матрицю, -й стовпець якої є власним вектором .
Оскільки власні вектори є лінійно незалежними, матриця є оборотною.
З цього випливає, що , оскільки .
Другий спосіб моделювання Відомо також, що Stochastic Analysis of the Fractional Brownian Motion,
де - звичайний броунівський рух і
Де — гіпергеометрична функція.
Скажімо, ми хочемо змоделювати в точках .
Побудуємо вектор чисел, отриманих як незалежні випадкові величини із стандартним гаусовим розподілом.
Помножимо його покомпонентно на , щоб отримати прирости броунівського руху на . Позначимо цей вектор .
Для кожного обчислимо
Цей інтеграл може бути ефективно обчислений за допомогою квадратури Гаусса.
Примітки
Див. також
Мультифрактальна система Рожевий шум
Література
. Craigmile P.F. (2003), "Simulating a class of stationary Gaussian processes using the Davies–Harte Algorithm, with application to long memory processes", Journal of Times Series Analysis, 24: 505–511.
. . . . Perrin E. et al. (2001), "nth-order fractional Brownian motion and fractional Gaussian noises", IEEE Transactions on Signal Processing, 49: 1049-1059. Samorodnitsky G., Taqqu M.S. (1994), Stable Non-Gaussian Random Processes, Chapter 7: "Self-similar processes" (Chapman & Hall).
Додаткова література
.