Теорема про бісектрису — теорема планіметрії, яка пов'язує довжини відрізків, на які бісектриса ділить сторону, до якої вона проведена, та довжини прилеглих сторін даного трикутника.
Справедлива і обернена теорема: якщо на стороні трикутника обрано точку так, що , то відрізок — бісектриса кута трикутника . Це можна легко довести методом від супротивного.
Доведення (методом пропорційних відрізків)
Нехай дано трикутник , — бісектриса кута . Через точку проведемо пряму, паралельну прямій і нехай проведена пряма перетинає пряму в точці .
На зображенні кути та рівні як внутрішні різносторонні при паралельних прямих і та січній ; кути та рівні як відповідні при паралельних прямих і та січній . Проте кути та рівні, оскільки — бісектриса кута . Звідси маємо, що всі кути , , та рівні між собою. Звідси маємо, що трикутник рівнобедрений, тобто .
За теоремою про пропорційні відрізки маємо: . Але , тому , звідки остаточно. Теорему доведено.
Доведення (методом площ) Нехай дано трикутник , — бісектриса кута . Знайдемо площі трикутників та . Для цього скористаємося двома формулами для знаходження площ: , де — сторона трикутника, а — висота, опущена на цю сторону;
, де та — сторони трикутника, — кут між цими сторонами.
З першої формули маємо, що , а , де — висота трикутника , яка є також і висотою трикутників та . Звідси .
З другої формули отримуємо, що та . Звідси . Оскільки — бісектриса кута , то , звідки , а тому остаточно .
Вище доведено, що та , а тому . Теорему доведено.
Узагальнення теореми Якщо пряма не обов'язково є бісектрисою, то з вище викладених міркувань випливає, що .
Література Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Якір М. С. Геометрія: підруч. для 8 кл. з поглибл. вивченням математики. — Х.: Гімназія, 2009. — 240 с. ISBN 978-966-474-012-5