Вписане коло трикутника — це найбільше коло, розташоване в трикутнику, яке дотичне до трьох його сторін.
Аналогічно, вписане коло багатокутника — це найбільше коло, що розташоване всередині багатокутника, і яке дотикається до всіх його сторін.
Центр вписаного в трикутник кола називають інцентром. Інцентр також є точкою перетину бісектрис трикутника. Традиційно позначають латинською літерою I.
Центр вписаного кола можна знайти, як точку перетину трьох бісектрис внутрішніх кутів.
Зовнівписане коло трикутника — це коло, що розташоване ззовні трикутника, і яке дотичне до однієї його сторони і продовжень двох інших сторін.
Зовнівписане коло багатокутника — це коло, що розташоване ззовні багатокутника, і яке дотикається до однієї його сторони і продовжень двох інших суміжних сторін.
Центр зовнівписаного кола можна знайти, як точку перетину бісектриси внутрішнього кута і двох бісектрис зовнішніх кутів. З цього випливає, що центр вписаного кола разом з трьома центрами зовнішніх вписаних кіл утворюють ортоцентричну систему.
Властивості інцентра Інцентр є першим центром, чудовою точкою трикутника х(1), у Енциклопедії центрів трикутника Кларка Кімберлінга. Інцентр лежить на однаковій відстані від усіх сторін трикутника. Інцентр ділить бісектрису кута у відношенні , де , , — сторони трикутника. Теорема про трилисник (або лема про тризубець). Якщо продовження бісектриси кута А перетинає описане навколо трикутника ABC коло в точці , то справедлива рівність: , де — центр зовнішнього вписаного кола, що дотикається до сторони . Формула Ейлера. Квадрат відстані між інцентром і центром описаного кола дорівнює , де і — радіуси відповідно описаного та вписаного кіл.
Властивості вписаного кола У кожен трикутник можна вписати коло, притому тільки одне.
В багатокутник можна вписати коло лише у випадку, коли всі бісектриси його внутрішніх кутів перетинаються в одній точці. Центр I вписаного кола називається інцентром, він рівновіддалений від усіх сторін і є точкою перетину бісектрис внутрішніх кутів багатокутника. Радіус вписаного в трикутник кола дорівнює
де S — площа трикутника, а p — півпериметр. Якщо AB — основа рівнобедреного , то коло, дотичне до сторін кута в точках A і B, проходить через інцентр трикутника ABC. Якщо пряма, що проходить через точку I паралельно стороні AB, перетинає сторони BC і CA в точках A1 і B1, то . Точки дотику вписаного в трикутник T кола з'єднані відрізками утворюють трикутник T1. Бісектриси T є серединними перпендикулярами T1. Нехай T2 — ортоцентричний трикутник T1. Тоді його сторони паралельні сторонам вихідного трикутника T. Нехай T3 — серединний трикутник T1. Тоді бісектриси T є висотами T3. Нехай T4 — ортотрикутник T3, тоді бісектриси T є бісектрисами T4. Радіус вписаного в прямокутний трикутник з катетами a, b і гіпотенузою c кола дорівнює . Відстань від вершини С трикутника до точки, в якій вписане коло дотикається сторони, дорівнює . Відстань від вершини C до центра вписаного кола дорівнює , де r — радіус вписаного кола, а γ — кут вершини C. Відстань від вершини C до центра вписаного кола може також бути знайдено за формулами і Лема Верр'єра: нехай коло дотичне до сторін , і дуги описаного кола трикутника . Тоді точки дотику кола зі сторонами і центр вписаного кола трикутника лежать на одній прямій.
Примітки
Див. також
Трикутник Коло Описане коло Зовнівписане коло Описаний багатокутник Теорема про рівні вписані кола