У фізиці, зокрема в спеціальній і загальній теоріях відносності, 4-швидкість (або чотиришвидкість) — 4-вектор у чотиривимірному просторі-часіТехнічно чотиривектор слід розглядати як такий, що міститься в дотичному просторі точки простору-часу, а сам простір-час моделюється як гладкий многовид. Ця особливість важлива в загальній теорії відносності., релятивістський аналог швидкості, яка є тривимірним вектором у просторі.
Фізичні події відповідають математичним точкам у часі та просторі, сукупність яких разом утворює математичну модель фізичного чотиривимірного простору-часу. Історія об'єкта відстежує криву в просторі-часі, називану його світовою лінією. Якщо об'єкт має , а отже його швидкість обов'язково менша за швидкість світла, світову лінію можна параметризувати власним часом об'єкта. 4-швидкість — це швидкість зміни 4-положення відносно власного часу вздовж кривої. Швидкість, навпаки, — це швидкість зміни положення об'єкта в (тривимірному) просторі, як його бачить спостерігач, відносно часу спостерігача.
Величина 4-швидкості об'єкта, тобто величина, отримана застосуванням метричного тензора до 4-швидкості , тобто , завжди дорівнює , де — швидкість світла. Застосування знака плюс чи мінус залежить від вибору метричної сигнатури. Для нерухомого об'єкта його 4-швидкість паралельна напрямку координати часу з . Отже, 4-швидкість — нормалізований напрямлений у майбутнє часоподібний дотичний вектор до світової лінії та є контраваріантний вектор. Хоча це вектор, додавання двох 4-швидкостей не дає 4-швидкості: простір 4-швидкостей сам по собі не є векторним просторомМножина чотиришвидкостей є підмножиною дотичного простору (який є векторним простором) у події. Назва чотиривектор випливає з поведінки під час перетворень Лоренца, а саме під яким конкретним представленням вони перетворюються..
Швидкість Шлях об'єкта в тривимірному просторі (в інерційній системі відліку) можна виразити через три функції просторової координати від часу , де — індекс, який набуває значень 1, 2, 3.
Три координати утворюють тривимірний радіус-вектор, який можна записати як вектор-стовпецьСкладові швидкості (дотичної до кривої) в будь-якій точці світової лінії дорівнюютьКожна складова записується просто
Теорія відносності У теорії відносності Ейнштейна шлях об'єкта, що рухається відносно певної системи відліку, визначають чотири функції координат , де — індекс простору-часу, який має значення 0 для часоподібної складової, та 1, 2, 3 для простороподібних координат. Нульова складова визначається як часова координата, помножена на ,Кожна функція залежить від одного параметра τ, який називають її власним часом. Як вектор-стовпець:
Уповільнення часу З уповільненням часу диференціали координатного часу і власного часу пов'язані між собоюде фактор Лоренца,є функцією евклідової норми тривимірного вектора швидкості
Визначення 4-швидкості 4-швидкість — 4-вектор, дотичний до світової лінії. 4-швидкість в будь-якій точці світової лінії визначається як:де — 4-положення, — власний час.
4-швидкість, визначена тут за допомогою власного часу об'єкта, не існує для світових ліній безмасових об'єктів, таких як фотони, що рухаються зі швидкістю світла; також її не визначено для тахіонних світових ліній, де дотичний вектор простороподібний.
Складові 4-швидкості Зв'язок між часом і часовою координатою визначається формулоюВзявши похідну від за власним часом , знаходимо складову швидкості для :і для інших 3 складових за власним часом отримуємо складові швидкості для :де ми використали правило диференціювання складеної функції та зв'язкиТаким чином, знаходимо для 4-швидкості У стандартній 4-векторній нотації це:де — часова складова, — просторова складова.
З точки зору синхронізованих годинників і лінійок, пов'язаних із певною ділянкою плоского простору-часу, три простороподібні складові 4-швидкості визначають рухомого об'єкта , тобто швидкість, з якою відстань долається в еталонній системі відліку за одиницю власного часу, що минув на годиннику, який рухається з об'єктом.
На відміну від більшості інших 4-векторів, 4-швидкість має не 4, а лише 3 незалежні складові . Коефіцієнт є функцією тривимірної швидкості .
Коли деякий помножити на 4-швидкість, то отримаємо новий фізичний 4-вектор, який має 4 незалежні складові.
Наприклад:
4-імпульс:
де — маса спокою
Густина 4-струму:
Фактично, коефіцієнт поєднується зі скалярним членом Лоренца і утворює 4-ту незалежну складовуі
Величина Використовуючи диференціал 4-положення в системі спокою, за допомогою метрики Мінковського зі сигнатурою можна отримати величину 4-швидкості:Коротше кажучи, величина 4-швидкості будь-якого об'єкта завжди є фіксованою сталою:У рухомій системі відліку така сама норма:так що:що зводиться до визначення фактора Лоренца.
Див. також
4-прискорення 4-імпульс 4-сила
Гіперболоїдна модель Стрімкість
Виноски Коментарі
Примітки
Література