Дотичний простір до гладкого многовиду в точці — сукупність дотичних векторів у цій точці, які утворюють природну структуру векторного простору.
Дотичний простір до у точці зазвичай позначають або — коли очевидно, про який многовид йде мова — просто .
Сукупність дотичних просторів у всіх точках многовиду (разом із самим многовидом) утворюють векторне розшарування, яке називається дотичне розшарування. Відповідно, кожний дотичний простір є шар дотичного розшарування.
Також як у дотичного вектора, існує модифікація поняття дотичний простір — дотичний простір у точці підмноговиду.
У найпростішому випадку, коли многовид гладко вкладений у векторний простір (що можливо завжди, згідно з Теоремою Вітні про вкладення), кожен дотичний простір можна природно ототожнити з деяким афінним підпростором охоплюючого векторного простору.
Означення
Через диференціювання в точці Нехай — гладкий многовид. Тоді дотичним простором назвемо простір диференціювань в точці . Тобто простір операторів які дають число для кожної гладкої функції , і володіють такими властивостями: Адитивність: Правило Лейбніца:
Легко бачити, що на множині всіх диференціювань в точці можна ввести структуру лінійного простору:
Через локальні координати Нехай — гладкий многовид розмірності n, і — деяке координатне відображення в околі точки x. Позначимо множину гладких у точці x відображень з простору X у множину дійсних чисел. Дотичним вектором в точці називається відображення:
таке що існують дійсні числа з наступною властивістю. Для довільної функції
де — координати простору
Визначення через криві Нехай — гладкий многовид розмірності n, і — деяке координатне відображення в околі точки p. Нехай маємо дві криві такі що Тоді називаються еквівалентними, якщо Множина класів еквівалентності називається дотичним простором. Ототожнивши кожен клас еквівалентності з відповідним образом у цю множину можна перетворити у векторний простір.
Властивості Дотичний простір -вимірного гладкого многовиду є -вимірним векторним простором. Для обраної локальної карти , оператори являють собою базис , який називають голономним базисом.
Пов'язані означення Контактним елементом до многовиду у деякій точці називається будь-яка гіперплощина дотичного простору в цій точці.
Див. також Дотичний вектор Дотичний простір Зариського Кодотичний простір
Джерела
Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971. Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр III. Гладкие многообразия. — М.: Наука, 1987. Спивак М. Математический анализ на многообразиях, — М.: Мир. 1968.