У геометрії трисхилий купол — призматоїд, що складається з правильного шестикутника (нижня основа купола), правильного трикутника (верхня грань, що паралельна основі), та бічних граней: 3 прямокутників та 3 рівнобедрених трикутників.
Належить до родини куполів і є підкласом призматоїдів.
Два куполи можуть бути з'єднані по їх нижній основі, утворюючи багатогранник , в прямій (якщо з'єднані однойменні грані) або повернутій (якщо з'єднані різнойменні грані) орієнтації.
Багатогранник Джонсона Трисхилий куполТипБагатогранник Джонсона J3 Призматоїд, множина куполів.ВластивостіОпуклий, рівносторонній, правильнограннийКомбінаторикаЕлементи 8 граней ((3+1){3} + 3{4} + 1{6}) 15 ребер9 вершин: 6 вершин (3-го степеня) + 3(4-го)Грані3+1 Правильних трикутників, 3 Квадрата, 1 Правильний шестикутник.Характеристика ЕйлераКонфігурація вершини 6(3.4.6)3(3.4.3.4)Вершинна фігура3 прямокутника з довжинами сторін 1 та 6 трикутників з довжинами сторін 1, , КласифікаціяПозначення• J3 (в нотації )• M4 (в нотації Залгаллера)• U3 = Q3 (в )• Q3 (в нотації Стюарта)Символ Шлефлі{3} || t{3}Група симетрії, , (*33), порядок 6(Циклічна симетрія 3-Піраміди)Група поворотів C3, +, (33), порядок 3Двоїстий багатогранникНапіврозсічений трикутний трапецоедрРозгортка Рівносторонній трисхилий купол є одним із багатогранників Джонсона ( або (за Залгаллером).
Трисхилий купол можна розглядати як половину кубооктаедра.
Багатогранник Джонсона — один із 92 строго опуклих багатогранників, що мають правильні грані, але не є однорідним (тобто він не є правильним багатогранником, архімедовим тілом, призмою або антипризмою). Правильногранні багатогранники названі ім'ям , який першим перелічив їх в 1966 р.
Трисхилий купол складено з 8 граней: 3+1 = 4 правильних трикутників, 3 квадратів та 1 правильного шестикутника.
Одна трикутна грань оточена трьома квадратами; три трикутних граней оточені двома квадратними та однією шестикутною гранню; квадратні грані оточені трьома трикутними та однією шестикутною гранями; шестикутна грань оточена трьома трикутними та трьома квадратними гранями.
Має 15 ребер однакової довжини: 3+6 = 9 ребер розташовані між квадратною та трикутною гранями, 3 ребра — між трикутною та шестикутною гранями, решта 3 — між квадратною та шестикутною гранями.
У трисхилого купола 9 вершин: 3 вершини оточені двома трикутними та двома квадратними гранями (почергово); 6 вершин оточені трикутною, квадратною та шестикутною гранями.
Трисхилий купол може бути отриманий шляхом поділу навпіл кубооктаедра по шестикутному перерізу між двома протилежними трикутними гранями.
Навпаки, два трисхилих куполи можна поєднати у поверненій орієнтації по шестикутній грані, і отримати кубооктаедр.
Трисхилий купол має вісь поворотної симертії 3-го порядку, що проходить через центри основ; а також три площини дзеркальної симетрії, що проходять через вісь купола та середини сторін нижньої основи.
Формули
Діагоналі Кількість діагоналей опуклого багатогранника: , де В — кількість вершин, Р — кількість ребер багатогранника. Для трисхилого купола:
діагоналі (15 граневих та 6 просторових). Діагоналі трисхилого купола з довжиною ребра Граневі діагоналі Просторові діагоналі
Метричні характеристики
Для трисхилого купола з довжиною ребра :Радіус описаної сфери (проходить через всі вершини)Радіус напіввписаної сфери (дотикається до всіх ребер)Вписаної сфери трисхилий купол не маєВисота H (Відстань між паралельними трикутною та шестикутною гранями)Площа поверхніОб'єм
Кути Плоскі кути граней при вершині: 60°, 90°, 120°. Кути багатогранникаКут між несусідніми ребрами при вершині верхньої основи rad = 120°Двогранний кут між гранями {3} та {4}≈ 2.1862760354 rad ≈ 125°15′ 51.8028′′Двогранний кут між гранями {3} та {6}≈ 1.2309594173 rad ≈ 70° 31′ 43.60571′′Двогранний кут між гранями {4} та {6}≈ 0.9553166181 rad ≈ 54°44′ 8.197142′′Тілесний кут при вершині нижньої основи (шестикутної) срТілесний кут при вершині верхньої основи (трикутної) срСферичність Центр тяжіння трисхилого купола лежить на його осі симетрії на відстані від нижньої основи.
Двоїстий багатогранник Трисхилий купол не має ні топологічно-двоїстого багатогранника (вершини двоїстого знаходяться в центрах граней вихідного багатогранника), ні канонічно-двоїстого багатогранника (середньовписані сфери обох багатогранників збігаються).
Його двоїстий може бути побудований лише загальним чином (кожній грані вихідного багатогранника відповідає вершина двоїстого, кожній вершині вихідного — грань дуального, з дотриманням симетрії вихідного багатогранника), а тому форми та розміри двоїстого багатогранника до вихідного трисхилого купола можуть різнитися. Двоїстий до трисхилого купола має 9 граней: 6 трикутників + 3 дельтоїда; 15 ребер, 8 вершин. Двоїстий багатогранникРозгортка двоїстого
Споріднені багатогранники Трисхилий купол належить до родини куполів. Сімейство n-куполів з правильними гранями існує до n = 5 включно. Два трисхилих куполи можуть бути з'єднані своїми шестикутними основами в прямій орієнтації (поєднуються однойменні бокові грані); отриманий багатогранник — (J27). Якщо один з куполів повернути на 60º, то отримаємо трисхилий повернутий бікупол, більш відомий як кубоктаедр. +Трисхилий прямий бікуполТрисхилий повернутий бікупол (кубооктаедр)
Трисхилий купол можна наростити трьома квадратними пірамідами, залишаючи суміжні копланарні грані без змін. Отриманий багатогранник, нарощений трисхилий купол, належить до родини майже багатогранників Джонсона з компланарними гранями.
Якщо об'єднати ці копланарні трикутники в єдині грані, отримаємо топологічно ще один трисхилий купол, бічні грані якого є рівнобедреними трапеціями. Якщо всі трикутні грані зберегти без змін, а шестикутник в основі розбити на 6 трикутників, вийде копланарний дельтаедр з 22 гранями.
Примітки
Література (Містить оригінальне перерахування 92 тіл і гіпотезу, що інших немає.) (Перший доказ, що існує тільки 92 тіл Джонсона.)
Посилання
Polytope Wiki.Triangular_cupola McCooey, David.TriangularCupola. Klitzing, Richard. «tricu» Quickfur. «The Triangular Cupola»