В Евклідовій геометрії зовні-описаний чотирикутник — опуклий чотирикутник, у якого продовження всіх чотирьох сторін є дотичними до кола поза чотирикутником. Через що також має назву зовні-дотичний чотирикутник.

Коло, яке торкається продовжень сторін чотирикутника, називається зовні-вписаним колом (англ. exscribed circle або скорочено excircle). Його центр Ic лежить на перетині шести бісектрис кутів чотирикутника, а саме: двох бісектрис протилежних внутрішніх кутів (при вершинах А та С на мал.), двох бісектрис зовнішніх кутів при двох інших вершинах чотирикутника (при вершинах В та D на мал.), та двох бісектрис кутів, утворених при перетині прямих, що містять протилежні сторони чотирикутника.

Проте чотирикутник має інші вписані ззовні кола (англ. escribed circle), що торкаються ззовні до сторони чотирикутника та продовжень двох суміжних його сторін (ці кола не слід плутати з зовні-вписаним колом чотирикутника). Так, всі опуклі чотирикутники мають чотири вписаних ззовні кола, водночас вони можуть мати щонайбільше одне зовні-вписане коло.

В трикутнику ці два кола тотожні, та мають назву зовнівписане коло трикутника.

Особливі випадки

Всі дельтоїди є зовні описаними чотирикутниками. І одночасно в кожен дельтоїд можна вписати коло.

Паралелограми (до яких належать квадрати, ромби та прямокутники) можна вважати зовні-описаними чотирикутниками з нескінченним радіусом зовні-вписаного кола, так як вони мають властивості зовні-описаних чотирикутників, які описано нижче, але зовні-вписане коло не може бути дотичним до обох пар продовжень протилежних сторін (оскільки вони паралельні).

Опуклі чотирикутники, довжини сторін яких утворюють арифметичну прогресію, завжди є зовні описаними чотирикутниками, оскільки вони задовольняють умовам для довжин суміжних сторін, що наведені нижче.

Умови, за яких чотирикутник є зовні-описаним У цьому розділі наведено необхідні та достатні умови, щоб чотирикутник був зовні-описаним.

Опуклий чотирикутник є зовні-описаним тоді й лише тоді, коли шість бісектрис кутів чотирикутника є конкурентними, тобто, перетинаються в одній точці.

А саме: дві бісектриси протилежних внутрішніх кутів, дві бісектриси зовнішніх кутів при двох інших вершинах чотирикутника та дві бісектриси кутів, утворених при перетині прямих, що містять протилежні сторони чотирикутника.

Ця спільна точка є центром зовні-вписаного в чотирикутник кола.

Теорема Штейнера. Опуклий чотирикутник з послідовними сторонами AB = a, BC = b, CD = c, AD = d є зовні-описаним тоді й лише тоді, коли сума двох сусідніх сторін дорівнює сумі двох інших сторін. Це було доведено Якобом Штейнером в 1846 році.Ф. G.-M., Exercices de Géométrie, Éditions Jacques Gabay, sixiéme édition, 1991, стор. 318. При цьому можливі два випадки: або

У першому випадку зовні-вписане коло знаходиться з боку більшого з кутів при вершинах A або C (за межами чотирикутника), а в другому випадку воно знаходиться з боку більшого з кутів при вершинах B або D.

Поєднуючи рівності (1) та (2), отримаємо умову, що чотирикутник є зовні-описаним тоді й лише тоді, коли абсолютне значення різниць довжин його протилежних сторін є рівними для двох пар протилежних сторін,

Ці рівності тісно пов'язані з теоремою Піто для описаного чотирикутника, яка стверджує, що в описаному чотирикутнику суми протилежних сторін рівні.

Теорема Уркхарта

Якщо в опуклому чотирикутнику ABCD протилежні сторони перетинаються в точках E і F, то,

Висновок зліва направо названо на честь Л. М. Уркхарта (1902—1966), хоча він був доведений задовго до цього Аугустусом Де Морганом у 1841 році.

Даніель Педо назвав цю теорему найелементарнішою теоремою в евклідовій геометрії, оскільки вона стосується лише прямих ліній і відстаней.

Еквівалентність була доведена Моваффаком Хаджа (Mowaffaq Hajja), що робить рівність праворуч ще однією необхідною та достатньою умовою для того, щоб чотирикутник був зовні-описаним.

Порівняння властивостей зовні-описаного чотирикутника з описаним чотирикутником

Зовні-описаний чотирикутник тісно пов'язаний з описаним чотирикутником, у якого всі сторони дотичні до кола (всередині чотирикутника).

Кілька метричних характеристик описаних чотирикутників (лівий стовпчик у таблиці) мають схожі аналоги для зовні-описаних чотирикутників (середній і правий стовпчики в таблиці). Таким чином, опуклий чотирикутник має вписане коло або зовні-вписане коло поза відповідною вершиною чотирикутника тоді і тільки тоді, коли виконується будь-яка з п'яти необхідних і достатніх умов, наведених нижче.

Вписане коло Зовні-вписане коло поза вершинами A обо C Зовні-вписане коло поза вершинами B або D

В наведених рівностях: Точка P — точка перетину діагоналей чотирикутника ABCD.

R1, R2, R3,R4 — радіуси кіл, описаних навколо трикутників △ABP, △BCP, △CDP, △DAP; h1, h2, h3, h4 — висоти цих трикутників, тобто відстані від точки P до сторін a = AB, b = BC, c = CD, d = DA відповідно; p1, p2, та q1, q2, — відстані до точки P від вершин A, С та B, D відповідно; x, y, z, w — кути ∠ABD, ∠ADB, ∠BDC, ∠DBC відповідно; r1, r2, r3, r4 — радіуси кіл, вписаних ззовні в чотирикутник, які дотикаються ззовні до сторін a, b, c, d відповідно та продовжень двох суміжних сторін чотирикутника.

Пряма Ньютона

Нехай чотирикутник ABCD є описаним, або зовні-описаним. Якщо точки M та N — середини його діагоналей, а точка О — центр вписаного кола (або зовні-вписаного), то точки M, N, O — колінеарні, тобто лежать на одній прямій.

Формули

Площа Площу зовні-описаного чотирикутника ABCD зі сторонами a, b, c, d можна знайти за формулою:

Ця формула ідентична до формули площі описаного чотирикутника, і таким же чином виводиться з формули Бретшнайдера.

Радіус зовні-вписаного кола Радіус зовні-вписаного кола чотирикутника ABCD зі сторонами a, b, c, d можна знайти за формулою: .

де S площа зовні-описаного чотирикутника.

Для зовні-описаного чотирикутника радіус зовні-вписаного кола максимальний, якщо чотирикутник є також і вписаним, тобто для зовні-біцентричного чотирикутника.

Також ці формули показують, що паралелограми (також і ромби, квадрати та прямокутники) мають нескінченний радіус зовні-вписаного кола, позаяк їх протилежні сторони рівні.

Зовні-біцентричний чотирикутник

Якщо зовні-описаний чотирикутник є одночасно і вписаним, тобто має описане коло, то він називається зовні-біцентричним чотирикутником.

Позаяк в цього чотирикутника сума протилежних кутів дорівнює 180°, то:

А отже, його площу можна знайти за формулою:

Ця формула така ж як і для біцентричного чотирикутника.

Якщо x — відстань між центром описаного кола O та центром зовні-вписаного кола Ic , то

де R — радіус описаного кола, а r — радіус зовні-вписаного кола.

Це те ж сама рівність, що і в теоремі Фусса для біцентричного чотирикутника. Однак, вирішуючи квадратне рівняння відносно х, потрібно обирати інший корінь, ніж той, що обирається для біцентричного чотирикутника. Таким чином, для зовні-описаного чотирикутника:

З цієї формули випливає, що

це означає, що описане коло і зовні-вписане коло ніколи не можуть перетнутися.

Див. також

Вписаний чотирикутник Описаний чотирикутник Біцентричний чотирикутник

Примітки

Посилання Extangential Quadrilateral На dynamicmathematicslearning.com