Малий зірчастий додекаедр — один з чотирьох правильних зірчастих багатогранників Кеплера — Пуансо.
Малий зірчастий додекаэдр вперше повністю описано в трактаті Йоганна Кеплера 1619 року «Harmonices Mundi» , а назву йому дав Артур Кейлі в 1859 році.
Позначення: W20 (в нотації М. Веннінґера) U34 (як однорідний многогранник) C43 (в нотації Г.Коксетера) :стор.435
Має 12 граней — правильних п'ятипроменевих зірок (пентаграм), які перетинаються між собою та 12 вершин. Шість пар граней лежать в паралельних площинах.
Його символ Шлефлі — . Це означає, що кожна вершина оточена 5-ма гранями (пентаграмами {5/2}).
Має центральну опуклу ділянку кожної грані, «приховану» всередині, при цьому зовні видно тільки частину граней у вигляді рівнобедрених трикутніиків. Частина граней, що знаходиться всередині многогранника відіграє роль плоскої мембрани та не розмежовує внутрішній простір многогранника.
малого зірчастого додекаедра таке ж як і у правильного ікосаедра (тобто опукла оболонка малого зірчастого додекаедра є правильним ікосаедром). А розташування ребер малого зірчастого додекаедра таке ж як і у великого ікосаедра.
Малий зірчастий додекаедр має повну симетрію правильного ікосаедра, і отже, всі його елементи симетрії, а саме:
1) має 31 вісь обертової симетрії:
‒ 6 осей 5-го порядку — проходять через протилежні вершини;
‒ 10 осей 3-го порядку — проходять через протилежні точки, в яких перетинаються по три грані;
‒ 15 осей 2-го порядку — проходять через середини протилежних паралельних ребер.
2) має 15 площин дзеркальної симетрії, що проходять через кожні дві сусідні вершини та центр многогранника (через кожну пару паралельних ребер).
3) має центр симетрії.
Як зірчаста форма додекаедра Діаграма ззірчення правильного додекаедра та грань малого зірчастого додекаедра на нійЖовтим кольором зображено грань малого зірчастого додекаедраУтворення грані малого зірчастого додекаедра
Малий зірчастий додекаедр є першою зірчастою формою правильного додекаедра. Його грані складені з нульового та першого відсіків на діаграмі ззірчення правильного додекаедра.
Малий зірчастий додекаедр утворюється з правильного додекаедра при продовженні його ребер до їх взаємного перетину, тобто кожна грань α правильного додекаедра замінюється зірчастим п'ятикутником з ядром α.
Також малий зірчастий додекаедр є радіально-опуклим зірчастим многогранником, тобто кожен промінь, що виходить з його центра, перетинає многогранник лише в одній точці.
Як нарощення додекаедра Часто малий зірчастий додекаедр визначається як многогранник, утворений нарощенням на гранях додекаедра правильних п'ятикутних пірамід.
Сам Йоганн Кеплер називає цей многогранник (малий зірчастий додекаедр) нарощеним додекаедром (а пізніше Echinus)«augmented dodecahedron to which I have given the name of Echinus» (Harmonices Mundi, Книга V, Розділ III — с. 407 у перекладі Е. Дж. Айтона).
Це некоректне визначення іноді використовується й до цього часу. Наприклад, MathWorld стверджує, що малий зірчастий додекаедр може бути отриманий шляхом додавання правильних п'ятикутних пірамід до граней правильного додекаедра.«A small stellated dodecahedron can be constructed by cumulation of a dodecahedron, i.e., building twelve pentagonal pyramids and attaching them to the faces of the original dodecahedron.»
Однак це твердження придатне лише для полегшення візуалізації цього многогранника, або для виготовлення його паперової моделі, або для обчислення його розмірів, але не для його визначення як тіла, так як при приєднанні (нарощенні) пірамід (з боковими гранями — золотими трикутниками) до граней додекаедра, у многограннику присутні «хибні» вершини (ті, що знаходяться на перетині ребер), які насправді не є вершинами малого зірчастого додекаедра, а також додаткові ребра (два ребра п'ятикутних пірамід та одне ребро додекаедра лежать на одній прямій і візуально створюють враження одного ребра).
Многогранник, утворений приєднанням прямих п'ятикутних пірамід до граней додекаедра, є топологічно еквівалентним до пентакісдодекаедр (одного з тіл Каталана), та не є малим зірчастим додекаедром. Ядро (Правильний додекаедр)Зірчастий многогранникМногогранник Каталана (Пентакісдодекаедр)
Топологія Малий зірчастий додекаедр має 12 граней (пентаграм), при цьому ці пентаграми реретинаються по 30 ребрах в 12 вершинах. Отже, його характеристика Ейлера має значення , і ми можемо обчислити його рід за допомогою формули Ейлера:
Отже, . Звідки випливає, що малий зірчастий додекаедр має рід . Це спостереження, зроблене Луї Пуансо, спочатку викликало плутанину, але Фелікс Кляйн показав у 1877 році, що малий зірчастий додекаедр можна розглядати як розгалуджене покриття сфери Рімана рімановою поверхнею роду 4, з точками розгалуження в центрі кожної пентаграми. Насправді ця ріманова поверхня, яка називається , має найбільшу кількість симетрій серед будь-яких ріманових поверхонь роду 4: група симетрії виступає як автоморфізм.
Формули
У всіх формулах нижче: — відношення пропорції «золотого перетину». ().
Для малого зірчастого додекаедра з довжиною ребра :Довжина основи рівнобедреного трикутника грані (довжина сторони базового додекаедра)≈ 0.236067977Довжина бічної сторони рівнобедреного трикутника грані≈ 0.381966011Висота «нарощеної піраміди»≈ 0.324919696Радіус описаної сфери (проходить через всі вершини) ≈ 0.587785252Радіус напіввписаної сфери (дотикається до всіх ребер)≈ 0.309016994Радіус вписаної сфери (дотикається до всіх граней)≈ 0.262865556Площа поверхні≈ 2.572701377Об'єм≈ 0.225424859Двогранний кут між гранями≈ 2.034443935рад ≈ 116°33′ 54.1842′′ Центр мас малого зірчастого додекаедра знаходиться в його геометричному центрі.
Момент інерції суцільного малого зірчастого додекаедра з масою та довжиною ребра (вісь обертання проходить через протилежні вершини):
Описана сфера малого зірчастого додекаедра Напіввписана сфера малого зірчастого додекаедра Вписана сфера малого зірчастого додекаедра Вписана та напіввписана сфери повністю лежать всередині многогранника та не виходять за його межі.
Координати вершин
Малий зірчастий додекаедр з довжиною ребра в декартовій системі координат має вершини з наступними координатами:
При цьому вершини лежать в чотирьох паралельних площинах (паралельних до площини Oxy), в кожній з яких розташовані як вершини правильного трикутника.
Початок координат збігається з центром многогранника, що є його центром симетрії та центром вписаної, напіввписаної та описаної сфер.
Вісь Oz збігається з однією з осей симетрії 3-го порядку, а вісь Oy — з однією з осей симетрії 2-го порядку.
Площина Oxz збігається з однією з площин симетрії многогранника.
Пов'язані та споріднені многогранники Опукла оболонка малого зірчастого додекаедра є правильним ікосаедром.
Ребра малого зірчастого додекаедра збігаються з ребрами великого ікосаедра; поєднання цих двох многогранників утворює вироджений многогранник, що має назву .
Існує чотири неопуклих однорідних многогранників, що утворені певними ступенями операції зрізання малого зірчастого додекаедра.
Зрізаний малий зірчастий додекаедр можна вважати виродженим однорідним многогранником. Вершини малого зірчастого додекаедра зрізаються, поки процес не досягає площин пентаграм під ними.
Візуально він виглядає як правильний додекаедр, але має 24 подвійно-накриті грані — 12 п'ятикутників, утворених від зрізання вершин і 12 п'ятикутників, утворених від зрізання пентаграм, які перекривають перші 12 п'ятикутників. П'ятикутники із зрізаних пентаграм насправді є виродженими десятикутниками {10/2}, що приймають форму подвійно-накритих п'ятикутників із двома множинами вершин і ребер, накладених одне на одне.
Коли -кутник скорочується в процесі зрізання, він стає -кутником.
Наприклад, зрізаний п'ятикутник { } стає десятикутником { }, а зрізана пентаграма { } стає подвійно-накритим п'ятикутником (тобто десятикутником, що має форму п'ятикутника) { } (це означає, що ми відвідаємо кожну вершину двічі, щоб завершити многокутник).
Многогранник має 60 вершин (в кожній вершині «додекаедра» містяться три вершини многогранника) та 90 ребер (кожне ребро «додекаедра» є потрійним — одне ребро від зрізання вершини (вершинна фігура — опуклий правильний п'ятикутник) та два ребра від зрізання пентаграми).
утворюється при (ректифікації) малого зірчастого додекаедра, коли зрізання вершин проводиться до точок, що лежать на серединах ребер многогранника, тобто ребра початкового многогранника фактично зникають.
є однорідним неопуклим многогранником U37, що має діаграму Коксетера — Динкіна та символ Шлефлі t{5,5/2}. Має 24 граней (12 правильних п'ятипроменевих зірок (пентаграм) та 12 правильних десятикутників), 90 ребер та 60 вершин.
Процес зрізання малого зірчастого додекаедра завершується (при повному глибокому зрізанні або біректифікації) утворенням двоїстого до нього многогранника — великого додекаедра, коли грані початкового многогранника зменшуються до точок, тобто фактично зникають. НазваМалий зірчастий додекаедрЗрізаний малий зірчастий додекаедрВеликий додекаедрДіаграма Коксетера — Динкінаo5o5/2x o5x5/2xo5x5/2ox5x5/2o x5o5/2oСимвол Шлефлі{5/2,5}t{5/2,5}r{5,5/2}t{5,5/2}{5,5/2}Зображення
Родина зірчастих форм правильного додекаедра.
Зірчасті форми правильного додекаедраТіло ПлатонаТіла Кеплера — ПуансоДодекаедрМалий зірчастий додекаедрВеликий додекаедрВеликий зірчастий додекаедрСимвол Шлефлі{p, q}{5,3}{5/2,5}{5,5/2}{5/2,3}ЗображенняДіаграмазірчастого многогранникаОбертання
Два однорідних з'єднання многогранників складаються з малих зірчастих додекаедрів: +З'єднання двох малих зірчастих додекаедрівЗ'єднання п'яти малих зірчастих додекаедрів
Додатково Обертання многогранникаСферична проєкціяРозгорткаПаперова модель многогранникаЦей многогранник також можна подати у вигляді сферичної плитки зі щільністю 3. (Одна сферична грань пентаграми, обведена синім і заповнена жовтим кольорами)Малий зірчастий додекаедр можна скласти з паперу, з'єднавши разом 12 правильних п'ятикутних пірамід. Кожен рівнобедрений трикутник (золотий трикутник) в цій розгортці візуально представляє частину пентаграми — грані малого зірчастого додекаедра.
малого зірчастого додекаедраПросторовими малого зірчастого додекаедра є 10 просторових шестикутників.
В мистецтві та архітектурі
Малий зірчастий додекаедр можна побачити в мозаїці полу в соборі Святого Марка в Венеції, автор Паоло Учелло, біля 1430 року. Див. с. 42. Многогранник є центральною фігурою в двох літографіях Ешера — Контраст (Порядок і хаос) (1950) та Гравітація[en] (1952).
Скульптура в Скульптура за мотивами «Гравітації» Моріца Корнеліса Ешера, представлена в Університеті Твенте
Див. також Зірчастий додекаедр Однорідний зірчастий многогранник
Примітки
Література
Посилання
Nan Ma. «Small stellated dodecahedron {5/2, 5}» Klitzing, Richard. «sissid» Однорідні многогранники та двоїсті до них Stellation and facetting — a Brief History Paper Small Stellated Dodecahedron