Kurtoza (z gr. κυρτός, kyrtos, kurtos – wydęty) – jedna z miar kształtu rozkładu prawdopodobieństwa wartości cechy statystycznej. Definicja kurtozy Współczynnik kurtozy zdefiniowany jest jako standaryzowany moment centralny czwartego rzędu:
gdzie: – czwarty moment centralny, – odchylenie standardowe.
Kurtoza nadwyżkowa (eksces) W praktyce stosuje się najczęściej tzw. kurtozę nadwyżkową (zwaną ekscesem lub współczynnikiem ekscesu, ang. excess kurtosis):
czyli
Własności kurtoza nadwyżkowa rozkładu normalnego wynosi 0, jeśli jest sumą niezależnych zmiennych losowych, każdej o rozkładzie identycznym z rozkładem zmiennej losowej to spełniona jest zależność:
Z racji powyższych własności kurtoza nadwyżkowa jest wygodniejsza w obliczeniach i interpretacji niż kurtoza.
Kurtoza nadwyżkowa z próby Kurtoza nadwyżkowa z próby wyraża się wzorem:
gdzie: – -ta wartość cechy, – wartość oczekiwana w populacji, – odchylenie standardowe w populacji, – liczebność próby.
Powyższa statystyka jest obciążonym estymatorem kurtozy nadwyżkowej z populacji.
Estymator nieobciążony wyraża się wzorem:
gdzie: – średnia z próby, – odchylenie standardowe z próby, – kolejne wartości cechy, – liczebność próby.
Interpretacja
Co mierzy kurtoza Wbrew stwierdzeniom obecnym w niektórych podręcznikach, kurtoza nie mierzy „spłaszczenia”, „wysmukłości” ani „spiczastości” rozkładu. Na kurtozę ma wpływ intensywność występowania wartości skrajnych, mierzy więc ona, co się dzieje w „ogonach” rozkładu, natomiast kształt „czubka” rozkładu jest praktycznie bez znaczenia.
Typy rozkładów prawdopodobieństwa ze względu na wartość kurtozy Rozkłady prawdopodobieństwa można podzielić ze względu na wartość kurtozy na rozkłady: mezokurtyczne (KurtE = 0) – wartość kurtozy nadwyżkowej wynosi 0, intensywność wartości skrajnych jest podobna do intensywności wartości skrajnych rozkładu normalnego (dla którego kurtoza nadwyżkowa wynosi dokładnie 0), leptokurtyczne (KurtE > 0) – kurtoza nadwyżkowa jest dodatnia, intensywność wartości skrajnych jest większa niż dla rozkładu normalnego („ogony” rozkładu są „grubsze”), platykurtyczne (KurtE < 0) – kurtoza nadwyżkowa jest ujemna, intensywność wartości skrajnych jest mniejsza niż w przypadku rozkładu normalnego („ogony” rozkładu są „węższe”).
Twierdzenie o kurtozie nadwyżkowej rozkładu normalnego Kurtoza nadwyżkowa rozkładu normalnego wynosi 0, tj. jeżeli , to
Zobacz też miara rozkładu statystyka opisowa
Przypisy
Bibliografia
Donald A. McQuarrie, Matematyka dla przyrodników i inżynierów, tom 3, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, str. 183. W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2002, cz. II Statystyka matematyczna, str. 30.
Kategoria:Miary koncentracji rozkładu