Model Isinga – dyskretny układ spinów, umieszczonych w węzłach sieci jedno-, dwu- lub trójwymiarowej, oddziałujących ze sobą i z zewnętrznym polem magnetycznym. Model został wymyślony przez Wilhelma Lenza w roku 1920 jako model ferromagnetyka do teoretycznego opisu przejść fazowych w ferromagnetykach. Rozwiązanie analityczne tego modelu dla przypadku jednowymiarowego uzyskał jego doktorant Ernst Ising w roku 1925. Układ dwuwymiarowy przy zerowym polu magnetycznym analitycznie rozwiązał Lars Onsager w roku 1944. Przypadek dwuwymiarowy układu spinów umieszczonych w niezerowym zewnętrznym polu magnetycznym pozostaje dotąd nierozwiązany analitycznie (2011). framed|right|Układ spinów rozmieszczonych w węzłach kwadratowej sieci (500 × 500), początkowo znajdujący się w wysokiej temperaturze (czemu odpowiada w modelu losowa konfiguracja początkowa spinów), schładzany do temperatury T = 0,1 kelwina - rozwiązanie numeryczne modelu Isinga. Kolor biały oznacza spiny ustawione w dół, kolor czarny - w górę.
Rozwiązanie numeryczne pokazuje, że układ spinów przechodzi podczas schładzania ze stanu chaotycznego (widoczne na animacji liczne, małe obszary białe i czarne) w stan uporządkowany, zawierający duże domeny magnetyczne(duże obszary o jednolitym kolorze), w których spiny mają jednakowe ustawienie. Wynik obliczeń z modelu Isinga jest zgodny z wynikami realnych eksperymentów. Hamiltonian modelu Isinga w zewnętrznym polu Energię układu spinów oblicza się biorąc pod uwagę dwa składniki:
a). oddziaływania między najbliższymi, sąsiadującymi ze sobą spinami
b). oddziaływania spinów z zewnętrznym polem magnetycznym.
Hamiltonian układu spinów ma postać
gdzie: oznacza sumowanie po wszystkich sąsiadujących ze sobą parach spinów, – energia pojedynczego (każdego -tego) spinu w zewnętrznym polu magnetycznym, – operatory spinu – całka wymiany przy czym:
gdy oddziaływanie pary spinów jest ferromagnetyczne (spiny ustawiają się równolegle, ze zgodnymi zwrotami), gdy oddziaływanie pary spinów jest antyferromagnetyczne (spiny ustawiają się antyrównolegle, z przeciwnymi zwrotami), gdy para spinów nie oddziałuje ze sobą.
Energia oddziaływania pary spinów przyjmuje więc jedną z dwóch wartości, zależną od ich wzajemnej orientacji (zgodnej lub przeciwnej) – jeśli spiny oddziałują ze sobą.
Namagnesowanie Wartość namagnesowania obliczamy w modelu wzorem
przy czym ferromagnetyzm występuje, gdy dla zerowego zewnętrznego pola magnetycznego.
Dla ferromagnetyzmu ma miejsce spontaniczne złamanie symetrii, tzn. w zerowym zewnętrznym polu magnetycznym układ sam wyróżnia jeden z kierunków.
Suma statystyczna w modelu Isinga Sumę statystyczną oblicza się ze wzoru
Aby obliczyć średnią z operatora zależnego od operatorów można dodać do hamiltonianu człon a następnie obliczyć średnią i pochodną w granicy dla zmierzającego do zera, tj.
Namagnesowanie jest więc równe:
Ostatecznie więc namagnesowanie
Gdy J = 0, tzn. dla układu nieoddziałujących spinów w polu magnetycznym suma statystyczna jest równa:
Dla takiej sumy statystycznej namagnesowanie jest równe
Model Isinga w jednym wymiarze W układzie jednowymiarowym nakłada się periodyczne warunki brzegowe Hamiltonian dla takiego układu ma postać
Statystyczna suma stanów:
gdzie:
Możliwe są cztery „warianty” :
Wracając do sumy statystycznej mamy
Macierz można przedstawić w postaci gdzie jest macierzą diagonalną, a
jest macierzą diagonalną, jest więc postaci:
Natomiast
Wyznaczenie wartości własnych dla M:
Wybierając największą wartość własną macierzy:
otrzymujemy, że suma statystyczna jest równa:
Jeśli to:
Faza stabilna jest określona przez największą wartość własną. Przejście fazowe (np. między fazą ferro i paramagnetyczną) zachodzi wtedy, gdy zrównują się wartości własne.
Namagnesowanie w takim wypadku jest równe:
Czyli ostatecznie namagnesowanie:
Bez zewnętrznego pola magnetycznego
Dla (czyli brak zewnętrznego pola magnetycznego) czyli nie ma ferromagnetyzmu w układzie jednowymiarowym.
Zobacz też
sieć Hopfielda szkło spinowe
Przypisy
Bibliografia
Ernst Ising, Contribution to the Theory of Ferromagnetism, 1925
Kategoria:Mechanika kwantowa