Hipoteza Elliotta-Halberstama jest problemem otwartym teorii liczb. Hipoteza, nazwana po Peterze D.T.A. Elliocie i Heinim Halberstamie, dotyczy szacowania ilości liczb pierwszych występujących w ciągach arytmetycznych. Treść hipotezy została sformułowana po raz pierwszy w 1968 r.

Hipoteza należy do dziedziny teorii sit. Jej prawdziwość miałaby ogromny wpływ na postępy w ustalaniu najmniejszej różnicy występującej między liczbami pierwszymi nieskończenie wiele razy.

Treść hipotezy Niech oznacza funkcję liczącą liczby pierwsze, a oznacza funkcję liczącą liczby pierwsze w ciągu arytmetycznym Oznaczmy

gdzie oznacza największy wspólny dzielnik liczby i a to tocjent Eulera. Wówczas dla każdej stałej i stałej zachodzi zależność

dla i wszystkich (przy czym stała uwzględniona w notacji dużego O zależy jedynie od i ).

Modyfikacje i znane wyniki Treść hipotezy, dla ustalonej stałej zwykle bywa skracana do .

została udowodniona dla wszystkich przez Enrico Bombieriego i Iwana Winogradowa (wynik ten znany jest powszechnie jako twierdzenie Bombieriego-Winogradowa). Dodatkowo wiadomo, że dla nie jest prawdziwa.

Motohashi-Pintz-Zhang Yoichi Motohashi, János Pintz i Zhang Yitang zaproponowali i, w szczególnych przypadkach, udowodnili hipotetyczną zależność

gdzie a oznacza zbiór liczb bezkwadratowych o dzielnikach pierwszych w Dodatkowo przyjmujemy

tzn. pomijamy maksimum występujące w pierwotnej hipotezie, ale pozwalamy, aby klasa reszt była zależna od pod warunkiem, że gdzie

tzn. to iloczyn wszystkich liczb pierwszych w

Powyższa hipoteza, znana w literaturze jako szacowanie Motohashiego-Pintza-Zhanga, dla ustalonych i bywa zapisywana skrótowo jako . Wiadomo, że jest prawdą dla takich, że .

Uogólniona hipoteza Elliotta-Halberstama Niech oznacza liczbę dodatnich dzielników całkowitych liczby Dodatkowo, niech będą wartościami zależnymi od takimi, że i oraz dla gdzie i oznaczają notację asymptotyczną.

Załóżmy, że funkcje i różne od 0 spełniają zależności

oraz

gdzie oznaczają pewne stałe. Załóżmy dodatkowo, że spełnia ograniczenie typu Siegela-Walfisza,

dla dowolnych oraz Oznaczmy

Wówczas

dla gdzie oznacza splot Dirichleta funkcji i

Powyższą treść zwykle zapisuje się jako (z ang. generalised Elliott-Halberstam conjecture), a ogólne sformułowanie „uogólniona hipoteza Elliotta-Halberstama” dotyczy prawdziwości dla wszystkich .

Wiadomo, że jest prawdziwa dla jako uogólnione twierdzenie Bombieriego-Winogradowa.

Znaczenie hipotezy Hipoteza Elliota-Halberstama – zarówno pierwotna, jak i uogólniona – mają ogromny wpływ na wyniki dotyczące różnic między liczbami pierwszymi.

Oznaczmy

gdzie oznacza -tą liczbę pierwszą.

Znane są następujące wyniki. (wykazane bezwarunkowo) (zakładając hipotezę EH) (zakładając GEH)1246 –62398 130270252324 797 81452 116 –41 431 556 072474 266 –580 550 202 4804 137 854 – –

Przypisy

Kategoria:Analityczna teoria liczb Kategoria:Otwarte problemy teorii liczb