Dodatkowo wiadomo, że dla nie jest prawdziwa.
Motohashi-Pintz-Zhang Yoichi Motohashi, János Pintz i Zhang Yitang zaproponowali i, w szczególnych przypadkach, udowodnili hipotetyczną zależność
gdzie a oznacza zbiór liczb bezkwadratowych o dzielnikach pierwszych w Dodatkowo przyjmujemy
tzn. pomijamy maksimum występujące w pierwotnej hipotezie, ale pozwalamy, aby klasa reszt była zależna od pod warunkiem, że gdzie
tzn. to iloczyn wszystkich liczb pierwszych w
Powyższa hipoteza, znana w literaturze jako szacowanie Motohashiego-Pintza-Zhanga, dla ustalonych i bywa zapisywana skrótowo jako . Wiadomo, że jest prawdą dla takich, że .
Uogólniona hipoteza Elliotta-Halberstama Niech oznacza liczbę dodatnich dzielników całkowitych liczby Dodatkowo, niech będą wartościami zależnymi od takimi, że i oraz dla gdzie i oznaczają notację asymptotyczną.
Załóżmy, że funkcje i różne od 0 spełniają zależności
oraz
gdzie oznaczają pewne stałe. Załóżmy dodatkowo, że spełnia ograniczenie typu Siegela-Walfisza,
dla dowolnych oraz Oznaczmy
Wówczas
dla gdzie oznacza splot Dirichleta funkcji i
Powyższą treść zwykle zapisuje się jako (z ang.