mały|Dla ustalonych punktów i zbiór punktów , dla których , tworzy łuk okręgu. Twierdzenie o kącie wpisanym – jedno z podstawowych twierdzeń geometrii euklidesowej, które mówi, że kąt wpisany w okrąg jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Z tego wynika, że miara kąta wpisanego nie zmienia się, gdy jego wierzchołek porusza się po tym samym łuku okręgu.
Treść W każdym okręgu kąt wpisany oparty na jednym łuku nie zmienia się i równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.
Dowód
Przypadek: jedna z cięciw jest średnicą mały|Jedna z cięciw jest średnicą Niech będzie środkiem okręgu. Wybieramy punkty i na okręgu oraz punkt diametralnie przeciwny do . Odcinek jest średnicą.
Kąt jest kątem wpisanym opartym na łuku ; oznaczmy go jako . Kąt jest kątem środkowym opartym na tym samym łuku; oznaczmy go jako .
Ponieważ (promienie), trójkąt jest równoramienny, więc .
Kąty i są przyległe: .
Z sumy kątów w trójkącie:, stąd , q.e.d.
Przypadek: środek wewnątrz kąta mały|Środek leży wewnątrz kąta Niech będą punktami na okręgu. Kąt jest kątem wpisanym.
Przedłużamy prostą do punktu (przeciwległego do ). Wówczas .
Oznaczmy:.
Zatem .
Dla kątów środkowych: .
Ponieważ oraz , to , q.e.d.
Przypadek: środek na zewnątrz kąta mały|Środek leży na zewnątrz kąta W tym przypadku: .
Oznaczając oraz dla kątów środkowych: i korzystając z zależności:, otrzymujemy , q.e.d.
Przypisy
Kategoria:Twierdzenia planimetrii