Testy dla proporcji – testy parametryczne służące do weryfikacji hipotez dotyczących wartości proporcji w populacji generalnej lub też do porównania wartości proporcji w kilku populacjach – na podstawie znajomości wartości tej proporcji w losowej próbie (czy też dwóch lub kilku próbach) pobranych z populacji.
Proporcją w statystyce nazywamy liczbę (ułamek, procent) wyrażający, jaka część elementów pewnego zbioru spełnia określony warunek. Inne równoważnie stosowane określenia to: frakcja, wskaźnik struktury. Na przykład jeśli w grupie osób jest palących, to proporcja osób palących w tej grupie jest równa
Struktura i podział testów Hipotezy dotyczące proporcji testuje się zgodnie z ogólnymi zasadami testowania hipotez statystycznych: formułujemy hipotezy, zakładamy poziom istotności – dopuszczalną wartość błędu pierwszego rodzaju, następnie na podstawie danych z próby wyznaczamy wartość statystyki testowej, po czym porównujemy ją z wartościami krytycznymi odczytanymi z tablic odpowiedniego rozkładu teoretycznego.
Postać stosowanej statystyki testowej zależy od następujących czynników: czy badamy hipotezę dotyczącą jednej, dwóch, czy wielu proporcji, jaka jest liczebność próby (prób) występujących w danym zagadnieniu, w przypadku dwu lub więcej prób – czy próby są niezależne, czy zależne (powiązane).
Poniżej przedstawiono w skrócie kilka testów najczęściej wykorzystywanych w poszczególnych sytuacjach.
Testy dla jednej proporcji (test dla prób dużych) W próbie losowej o liczebności jest elementów spełniających pewien warunek. Wówczas proporcja w próbie Chcemy sprawdzić, czy taki wynik losowania pozwala przyjąć, że w całej populacji proporcja ta ma zadaną z góry wartość Hipotezy mają postać:
postać hipotezy alternatywnej zależy od sformułowania zagadnienia:
Założenia: próba musi być dostatecznie duża, to znaczy jej liczebność musi spełniać warunek a otrzymana wartość proporcji z próby powinna spełniać warunek: Można wtedy zastosować statystykę o rozkładzie normalnym.
Obliczamy:
gdzie Jeśli hipoteza zerowa jest prawdziwa, to statystyka ma w przybliżeniu standardowy rozkład normalny – wynika to z Centralnego Twierdzenia Granicznego.
Wartość tak obliczonej statystyki porównujemy z wartością krytyczną (lub dwiema wartościami krytycznymi) wyznaczonymi na podstawie poziomu istotności dla zmiennej losowej o rozkładzie normalnym.
Wartości krytyczne znajdujemy z tablic dystrybuanty rozkładu normalnego. Jeżeli jest dystrybuantą standardowego rozkładu normalnego, a – funkcją odwrotną do dystrybuanty, natomiast – założonym poziomem istotności – to odczytujemy: dla przypadku :
w przypadku :
zaś w przypadku mamy 2 wartości graniczne:
Przedział krytyczny: w przypadku jest prawostronny, czyli gdy – odrzucamy w przypadku przeciwnym – nie ma podstaw do jej odrzucenia, w przypadku przedział krytyczny jest lewostronny (dla odrzucamy ), w przypadku przedział krytyczny jest obustronny (dla i dla odrzucamy ).
Testy dla dwóch proporcji Dwie próby niezależne Poniżej omówiono dwa testy – jeden dla dużych liczebności prób, oparty na statystyce o rozkładzie normalnym, analogiczny do omówionego powyżej dla jednej próby, drugi, możliwy do zastosowania przy nieco mniejszych liczebnościach prób, oparty na statystyce o rozkładzie chi-kwadrat.
Test dla dwóch prób dużych Liczebności prób powinny spełniać relacje: i Jeżeli spośród elementów pierwszej próby spełnia określony warunek, to proporcja z próby jest równa
Analogicznie dla drugiej próby:
Wyznaczamy proporcję dla „próby połączonej”:
oraz a następnie wyznaczamy wartość statystyki
Statystyka ta ma rozkład normalny i wartości krytyczne oraz obszary krytyczne wyznaczamy dla tego testu tak samo, jak to opisano wcześniej w teście dla jednej proporcji.
Test dla dwóch prób o mniejszych liczebnościach (oparty na statystyce chi-kwadrat) Tutaj liczebności muszą spełniać warunek
Liczby elementów spełniających lub nie spełniających zadanego warunku w poszczególnych populacjach można zapisać w tabeli 2×2:
Liczba elementów Próba 1 Próba 2 Suma spełniających warunek (TAK) a b a + b nie spełniających warunku (NIE) c d c + d Suma n1=a+c n2=b+d n=a+b+c+d
Na podstawie tabeli obliczamy wartość statystyki z poprawką Yatesa:
gdzie:
Jeżeli liczebności prób są na tyle duże, że – można wówczas pominąć w liczniku składnik w nawiasie. Wartości krytyczne wyznacza się z tablic rozkładu chi-kwadrat o 1 stopniu swobody.
Dwie próby zależne Ten przypadek występuje na przykład wtedy, gdy te same obiekty czy osoby stanowiące próbę są badane dwukrotnie w różnych warunkach. Wtedy zwykle liczebności obu prób są jednakowe:
Wynikiem takiego eksperymentu są 4 liczby, stwierdzające, ile obiektów w każdej z prób spełnia lub nie spełnia warunku. Wyniki takie można zestawić w tabelce 2×2:
LiczebnościPróba 2: TAKPróba 2: NIEPróba 1:TAK a bPróba 1: NIE c d
Te same wyniki można też zaprezentować w postaci tabelki proporcji zamiast liczebności (gdzie np. itd.)
Proporcje:Próba 2: TAKPróba 2: NIEPróba 1:TAK Próba 1: NIE
W zależności od liczebności prób możliwe są różne odmiany testu.
Liczebność duża Jeżeli to wyznaczamy statystykę o rozkładzie normalnym z jednego ze wzorów:
(Stosuje się dowolny z powyższych wzorów, zależnie od dostępnych danych).
Wartość statystyki porównujemy z wartością wyznaczoną z tablic rozkładu normalnego, przy czym postępowanie jest takie samo, jak opisane powyżej dla testu dla jednej proporcji.
Liczebność mała (test McNemara) W tym przypadku hipotezy mają postać: (proporcje w obu doświadczeniach są równe), (proporcje w obu przypadkach różnią się istotnie).
Jeżeli oraz zarówno jak i to można wykorzystać statystykę
Jeżeli natomiast liczebności są jeszcze mniejsze, tak, że ale lub należy wykorzystać nieco zmodyfikowany wzór:
Wartość krytyczną odczytujemy z tablic rozkładu chi-kwadrat dla danego poziomu istotności i stopnia swobody. Obszar krytyczny testu jest prawostronny (odrzucamy gdy ).
Testy dla wielu proporcji Mamy tu prób o liczebnościach W i-tej próbie elementów spełnia zadany warunek, zatem proporcja w i-tej próbie jest równa
Testujemy hipotezy: (wszystkie proporcje w populacjach są jednakowe), (proporcje w poszczególnych populacjach różnią się).
Próby niezależne Test Fishera-Snedecora Jeżeli wszystkie liczebności to można wyznaczyć statystykę o rozkładzie Fishera-Snedecora. Obliczamy najpierw „średnią proporcję”
oraz
Otrzymaną wartość statystyki F porównujemy z wartością krytyczną odczytaną z tablic rozkładu Fishera-Snedecora dla założonego poziomu istotności oraz liczby stopni swobody i Obszar krytyczny jest prawostronny, czyli gdy – odrzucamy hipotezę
Próby zależne Jeżeli mamy do czynienia z zależnymi próbami (seriami wyników) o jednakowej liczebności każda (np. osób jest poddawanych razy badaniu, którego wynik klasyfikujemy w kategoriach: tak, nie), przy czym liczebności są możemy wykorzystać test Cochrana do stwierdzenia, czy wyniki w poszczególnych doświadczeniach różnią się istotnie: wyniki poszczególnych serii nie różnią się istotnie, wyniki różnią się (zmiana warunków eksperymentu wpływa na wyniki).
Niech: oznacza, jak poprzednio, liczbę obiektów w i-tej próbie, które spełniają warunek (wynik Tak), to znaczy zaś oznacza liczbę prób, w których j-ty obiekt uzyskał wynik Tak – to znaczy oraz
Obliczamy statystykę
którą porównujemy z wartością krytyczną odczytaną z tablic rozkładu chi-kwadrat dla poziomu istotności i stopni swobody. Obszar krytyczny testu jest prawostronny.
Przypisy
Bibliografia Fisher R.A., Yates F., Statistical tables for biological, agricultural and medical research, Oliver and Boyd, Edinburgh 1963. Zieliński R., Tablice statystyczne, PWN, Warszawa 1972.
Linki zewnętrzne
Distribution Calculator Kalkulator obliczający prawdopodobieństwa i wartości krytyczne dla rozkładów: normalnego, Studenta, chi-kwadrat oraz F (Fishera-Snedeccora)
Proporcji