Powinowactwo osiowe – rodzaj przekształcenia afinicznego na płaszczyźnie.
Definicja Powinowactwo osiowe o osi jest to takie przekształcenie afiniczne na płaszczyźnie, w którym prosta jest prostą punktów stałych tego przekształcenia.
Równoważna definicja: Odwzorowanie geometryczne na płaszczyźnie nazywamy powinowactwem osiowym o osi jeżeli każda prosta nierównoległa do prostej i jej obraz pokrywają się lub przecinają się w punkcie leżącym na osi
Wektor powinowactwa jest to uporządkowana para punktów nie leżąca na osi dowolny punkt i jego obraz punkt
Kierunek powinowactwa jest zbiór wszystkich prostych równoległych do wektora powinowactwa.
Stosunek powinowactwa jest to liczba spełniająca warunek: gdzie punkty i są rzutami prostokątnymi punktu i jego obrazu na oś
Własności Dla dowolnych punktów i niebędących punktami stałymi powinowactwa osiowego proste i są równoległe. Jeśli wektor powinowactwa jest zerowy to powinowactwo osiowe staje się przekształceniem tożsamościowym. Jedynymi punktami stałymi w powinowactwie osiowym różnym od tożsamościowego są punkty osi powinowactwa Jedynymi prostymi stałymi powinowactwa osiowego nietożsamościowego jest oś powinowactwa i wszystkie proste równoległe do kierunku powinowactwa. Powinowactwo osiowe jest wyznaczone jednoznacznie, gdy podamy oś powinowactwa i wektor powinowactwa. Powinowactwo osiowe jest wyznaczone jednoznacznie, gdy podamy oś powinowactwa kierunek powinowactwa oraz stosunek powinowactwa różny od 1.
Niezmienniki stosunek długości równoległych odcinków stosunek podziału wektora stosunek pól figur
Fakty Można udowodnić, że każde przekształcenie afiniczne daje się przedstawić jako złożenie pewnego powinowactwa osiowego i pewnego podobieństwa.
Rodzaje powinowactwa osiowego: powinowactwo prostokątne – kierunek powinowactwa jest prostopadły do osi powinowactwa, powinowactwo ścinające (ścięcie) – kierunek powinowactwa jest równoległy do osi powinowactwa, symetria skośna – środek wektora powinowactwa leży na osi powinowactwa, symetria osiowa – kierunek powinowactwa jest prostopadły do osi i środek wektora leży na osi.
Każde przekształcenie afiniczne na płaszczyźnie jest powinowactwem osiowym lub złożeniem co najwyżej trzech powinowactw osiowych. Z tego wynika, że powinowactwa osiowe generują grupę przekształceń afinicznych.
Zobacz też grupa homeomorfizm izometria jednokładność
Bibliografia
Kategoria:Przekształcenia afiniczne