Kwadryka lub powierzchnia drugiego stopnia – powierzchnia dana równaniem drugiego stopnia ze względu na współrzędne :

gdzie:

przy czym nie zachodzi

(przynajmniej jeden z powyższych współczynników musi być różny od zera).

W zależności od wartości współczynników kwadryka może należeć do jednego z wielu typów, różniących się właściwościami.

Wykresy i równania kanoniczne Poprzez odpowiednie przekształcenie układu współrzędnych można równanie kwadryki sprowadzić do postaci kanonicznej, charakterystycznej dla jednego z wymienionych niżej 17 typów.

W poniższych wzorach elipsoida 150px     elipsoida obrotowa    (szczególny przypadek elipsoidy)           sfera        (szczególny przypadek elipsoidy obrotowej) paraboloida eliptyczna 150px     paraboloida obrotowa    (szczególny przypadek paraboloidy eliptycznej) paraboloida hiperboliczna 150pxhiperboloida jednopowłokowa 150pxhiperboloida dwupowłokowa 150pxpowierzchnia stożkowa 150pxwalec eliptyczny 150px     powierzchnia boczna zwykłego walca o nieskończonej wysokości    (szczególny przypadek walca eliptycznego) walec hiperboliczny 150pxwalec paraboliczny 150pxprzecinające się płaszczyzny tzw. przecinające się płaszczyzny urojone prostarównoległe płaszczyzny nakładające się płaszczyzny tzw. równoległe płaszczyzny urojone zbiór pustytzw. elipsoida urojona zbiór pustytzw. stożek urojony pojedynczy punkttzw. urojony walec eliptyczny zbiór pusty

Ostatnie kilka przypadków opisuje kwadryki zdegenerowane, w których dla kanonicznego układu współrzędnych znika co najmniej jedna ze współrzędnych. Niektórzy autorzy nie zaliczają ich do kwadryk. W tym sensie także walce są przypadkami zdegenerowanymi, gdyż można je przedstawić w postaci zawierającej tylko dwie współrzędne. Ponadto warto zauważyć, że niektóre z tych zdegenerowanych kwadryk nie są powierzchniami (prosta, punkt, zbiór pusty).

Postać macierzowa równania Równanie kwadryki można też przedstawić w postaci macierzowej:

gdzie:

Niezmienniki Poniższe wielkości nie zmieniają się przy zmianie początku układu współrzędnych i rotacji jego osi (równoważnie: przy przesuwaniu i obracaniu powierzchni względem układu współrzędnych):

Określenie typu na podstawie współczynników Korzystając ze znaku niezmienników można określić typ powierzchni danej równaniem (1) niezależnie od jej położenia w układzie współrzędnych. tzw. powierzchnie środkowe:

elipsoida (w szczególnym przypadku sfera) hiperboloida dwupowłokowa hiperboloida dwupowłokowa

zbiór pusty (tzw. elipsoida urojona) hiperboloida jednopowłokowa hiperboloida jednopowłokowa

pojedynczy punkt (tzw. stożek urojony) powierzchnia stożkowa powierzchnia stożkowa

paraboloidy: paraboloida eliptyczna (w szczególnym przypadku paraboloida obrotowa) paraboloida hiperboliczna

przypadek zdegenerowany (suma dwóch płaszczyzn, jedna płaszczyzna, prosta lub zbiór pusty) w przeciwnym wypadku powierzchnia walcowa oparta na krzywej stożkowej: walec eliptyczny rzeczywisty lub urojony walec hiperboliczny walec paraboliczny

Przypisy

Bibliografia

Linki zewnętrzne Paweł Lubowiecki, Krzywe płaskie drugiego stopnia. Powierzchnie drugiego stopnia, cz. VII, Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego, kanał „Uczelnia WAT” na YouTube, 16 maja 2022 [dostęp 2025-08-18]. [dostęp 2024-03-07]. Quadric , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05]. Surface of the second order , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05]. Interaktywne aplety Javy rysujące różne rodzaje kwadryk