thumb|Jeśli średnica koła = 1, jego obwód wynosi (czyt. pi), ludolfina, stała Archimedesa – stosunek obwodu koła (czyli długości okręgu) do długości jego średnicy; stosunek ten jest niezależny od wielkości koła, bowiem wszystkie koła są do siebie podobne. Liczba nazywana jest czasami stałą Archimedesa w uznaniu zasług Archimedesa z Syrakuz, który jako pierwszy badał własności i znaczenie w matematyce tej liczby; określenie ludolfina pochodzi od Ludolpha van Ceulena, który zyskał sławę, przedstawiając tę liczbę z dokładnością do 35 miejsc po przecinku. Grecy nie używali symbolu – wprowadził go dopiero William Jones, a spopularyzował Leonhard Euler.
Liczba z dokładnością do 200 miejsc po przecinku: ≈ 3,141592 653589 793238 462643 383279 502884 197169 399375 105820 974944 592307 816406 286208 998628 034825 342117 067982 148086 513282 306647 093844 609550 582231 725359 408128 481117 450284 102701 938521 105559 644622 948954 930381 96.
W praktyce korzysta się z przybliżonych wartości rzadziej z przybliżeń dokładniejszych: 3,141593 albo w postaci ułamków zwykłych np. lub
Liczba jest stałą matematyczną, która pojawia się w wielu działach matematyki i fizyki. Liczba jest niewymierna i przestępna.
Pojawia się w geometrii (np. we wzorach na pole koła oraz na pole powierzchni i objętość brył obrotowych), w analizie matematycznej (np. w wielu sumach szeregów liczbowych), we wzorze całkowym Cauchy’ego. Analiza matematyczna dostarcza wielu metod obliczania jej przybliżeń z dowolną dokładnością.
Oznaczenia liczby thumb|75px|W. Jones thumb|75px|L. Euler Symbol wprowadził walijski matematyk i pisarz William Jones w monografii Synopsis Palmariorum Matheseos w 1706. jest pierwszą literą greckiego słowa περίμετρον – perimetron, czyli obwód.
Oznaczenie można znaleźć także w pracach matematyków Williama Oughtreda, Isaaca Barrowa i Davida Gregory’ego.
Ale jeszcze w 1734 r. Leonhard Euler w dziele De summis serierum reciprocarum używa oznaczenia używa też tego oznaczenia w napisanym już po wydaniu Analizy liście do Jamesa Stirlinga z 16 kwietnia 1738 r.
Podobnie Johann Bernoulli w liście napisanym do Eulera w 1739 r. używa oznaczenia dla liczby , jednak już w następnym liście do Eulera, z początku roku 1740, stosuje on oznaczenie .
Ostatecznie uznanie dla oznaczenia nastąpiło po wydaniu przez Eulera w 1737 roku dzieła Analiza. Euler używał tego oznaczenia również w Introductio in Analysin Infinitorum (1748)Satis liquet Peripheriam hujus Circuli in numeris rationalibus exacte exprimi non posse, per approximationes autem inventa est .. esse = 3,14159..., pro quo numero, brevitatis ergo, scribam pi, ita ut sit = Semicircumferentiae Circuli, cujus Radius = 1, seu pi erit longitudo Arcus 180 graduum.. Prawdopodobnie znaczący wpływ na popularyzację symbolu miało jego pojawienie się w Mathematical Tables (1742) Henry’ego Sherwina.
Niektóre wzory zawierające W geometrii – pole koła o promieniu – obwód okręgu o promieniu – pole elipsy o półosiach równych i – objętość kuli o promieniu – powierzchnia kuli o promieniu – objętość walca o wysokości i promieniu podstawy Miara łukowa kąta półpełnego równa jest radianów
W analizie matematycznej (Euler), (rozkład normalny) (wzór Stirlinga) (wzór Eulera)
druga z powyższych całek służy do obliczania powierzchni górnego półkoła jednostkowego, trzecia do obliczania długości górnego półokręgu jednostkowego.
W teorii liczb Prawdopodobieństwo tego, że dwie losowo wybrane liczby całkowite są liczbami względnie pierwszymi wynosi Średnia liczba sposobów na zapisanie liczby naturalnej jako sumy dwóch kwadratów liczb naturalnych, wynosi
W powyższych przypadkach prawdopodobieństwo i średnią rozpatruje się w sensie granicznym. Na przykład rozważamy prawdopodobieństwo dla zbioru liczb a następnie obliczamy granicę przy dążącym do nieskończoności.
W fizyce zasada nieoznaczoności Heisenberga,
równanie pola grawitacyjnego ogólnej teorii względności,
Często występujące przekształcenia
Rozwinięcie w ułamek łańcuchowy
Kilka początkowych reduktów tego ułamka:
Każdy z powyższych ułamków ma tę własność, że najlepiej przybliża liczbę spośród wszystkich ułamków o mianownikach nie większych od danego. Ponadto błąd bezwzględny tego przybliżenia jest mniejszy niż odwrotność kwadratu mianownika, np.
Redukt był znany w najstarszych oszacowaniach liczby , redukt podał Archimedes.
Własności liczby Z liczbą ludzie zetknęli się już w starożytności. Podczas praktycznych zajęć (budownictwo, rolnictwo, gospodarstwo domowe itp.) zauważyli, że stosunek obwodu koła do jego średnicy jest wartością stałą. Pierwsze źródła dowodzące świadomego korzystania z własności liczby pochodzą ze starożytnego Babilonu.
Podejście starożytnych uczonych do matematyki, w szczególności do liczby , było ściśle użytkowe, nie stosowano właściwie żadnej abstrakcji, a reguły matematyczne opisywane były prostymi przykładami użytkowymi, niezbędnymi w architekturze czy księgowości.
Wyniki Archimedesa thumb|300x300px|Metoda aproksymacji liczby zaproponowana przez Archimedesa Archimedes (III w. p.n.e.) był pierwszym matematykiem badającym liczbę i jej znaczenie w matematyce.
Przede wszystkim znalazł metodę szacowania długości okręgu. W tym celu rozważał ciąg wielokątów foremnych opisanych na okręgu i wpisanych w okrąg. Opierając się na wprowadzonych w swoim dziele „O kuli i walcu” postulatach, wywiódł, że im więcej boków ma wielokąt foremny wpisany/opisany, tym jego obwód jest bliższy długości okręgu. Dawało to możliwość szacowania długości okręgu z dowolną dokładnością.
Przejście graniczne w tej konstrukcji opierało się na tym, co już wiedziano od czasów Eudoksosa, że dwie wielkości dowolnie bliskie sobie są równe. W dzisiejszym języku oznacza to analizę dwóch ciągów i ich granic: rosnącego ciągu obwodów wielokątów foremnych wpisanych oraz malejącego ciągu obwodów wielokątów foremnych opisanych Dla tych ciągów zachodzą łatwe do stwierdzenia zależności: oraz
Wprawdzie przy użyciu ówczesnej aparatury rachunkowej metoda ta praktycznie nie nadawała się do wyznaczania przybliżeń liczby , jasno jednak pokazała, że jest granicą pewnych ciągów wielkości konstruowalnych (w sensie konstrukcji klasycznychOczywiście nie każdy wielokąt foremny jest konstruowalny, więc wystarczyło „zacząć” od wielokąta foremnego konstruowalnego, np. trójkąta równobocznego, kwadratu lub pięciokąta foremnego, a następnie wielokrotnie podwajać liczbę boków.).
W pracach „O wymierzaniu koła” i „O kuli i walcu” wykazał, że jest w istocie „stałą uniwersalną” geometrii w następującym sensie.
Stosunek obwodu koła do jego średnicy jest stały, ten stosunek jest właśnie liczbą . Podobnie stałe są stosunek pola powierzchni koła do kwadratu jego promienia, stosunek objętości walca i stożka do iloczynu wysokości i kwadratu promienia podstawy, stosunek powierzchni kuli do kwadratu jej promienia, stosunek objętości kuli do sześcianu jej promienia. Archimedes udowodnił, że dla wszystkich powyższych brył obrotowych stosunki te są współmierne i w każdym z nich pojawia się ta sama stała .
Stosując opracowaną przez Eudoksosa i rozwiniętą przez siebie metodę wyczerpywania, udowodnił m.in., że pole koła jest równe polu trójkąta prostokątnego, którego przyprostokątnymi są promień koła i rektyfikacja brzegu koła (czyli odpowiedniego okręgu), objętość walca jest równa objętości graniastosłupa prostego trójkątnego, w którym z jednego z wierzchołków wychodzą trzy wzajemnie prostopadłe krawędzie o długościach równych wysokości walca, promieniowi podstawy walca i rektyfikacji brzegu podstawy walca, objętość stożka jest równa objętości walca opisanego na stożku.
Stosując stworzoną przez siebie metodę sum całkowych, udowodnił także, że pole powierzchni kuli jest równe polu powierzchni bocznej walca opisanego na tej kuli, objętość kuli jest równa objętości walca opisanego na tej kuli, z którego wydrążono dwa stożki stykające się swoimi wierzchołkami i których podstawy pokrywają się z podstawami walca.
W dzisiejszym języku oznacza to wyprowadzenie przez Archimedesa wzorów na pola powierzchni i objętości wyżej omówionych brył. Dzisiaj oczywiście do tego służy rachunek całkowy. Współczesną kontynuacją powyższych wyników Archimedesa są wzory na pole powierzchni i objętość n-wymiarowej hiperkuli, w których to wzorach także pojawia się liczba w odpowiednich potęgach.
Niewymierność Liczba jest niewymierna, czyli nie da się jej przedstawić w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych. Pierwszy dowód tej własności podał w 1761 roku Johann Heinrich Lambert, wykorzystując rozwinięcie funkcji w ułamek łańcuchowy:
Większość podręczników prezentuje jednak inne dowody niewymierności między innymi oparte na późniejszym pomyśle Hermite’a.
Dowód niewymierności
Niech dla pewnych dodatnich liczb naturalnych i
Niech dla liczby naturalnej dane będą wielomiany
oraz
gdzie oznacza -tą pochodną
Ponieważ wielomian ma współczynniki całkowite oraz stopień równy wszystkie pochodne mają w wartości całkowite. Także dla wartości te są całkowite, gdyż
Ponieważ
to
Ponieważ liczby i są całkowite, całkowita jest więc wartość Z drugiej strony, dla zachodzi oszacowanie
Z dowolności i powyższego oszacowania, całka jest dowolnie mała, co prowadzi do sprzecznościI. Niven, A simple proof that π is irrational, „Bulletin of the American Mathematical Society” 53, 6 (1947), s. 509..
Przestępność mały|320x320px|Przybliżona konstrukcja Kochańskiego
Liczba jest liczbą przestępną, co w 1882 roku wykazał Ferdinand Lindemann. Oznacza to, że nie istnieje wielomian o współczynnikach wymiernych, którego jest pierwiastkiem. W rezultacie nie jest możliwe przedstawić w postaci wyrażenia zawierającego skończoną liczbę działań arytmetycznych i pierwiastków na liczbach całkowitych.
Przestępność liczby oznacza, że niemożliwa jest kwadratura koła, czyli klasyczna konstrukcja (linijką i cyrklem) kwadratu o powierzchni równej powierzchni danego koła, gdyż współrzędne wszystkich punktów, które mogą być skonstruowane w taki sposób, należą do zbioru liczb nazywanych liczbami algebraicznymi. Konstrukcja klasyczna pozwala jedynie znaleźć rozwiązania przybliżone (tzw. konstrukcje przybliżone). Powiązanym, również niemożliwym do rozwiązania problemem, jest problem rektyfikacji okręgu, do którego również istnieją konstrukcje przybliżone, z których za jedną z najprostszych uchodzi konstrukcja Adama Adamandego Kochańskiego.
Historia obliczeń wartości Przybliżanie liczby w starożytności Babilończycy uważali, że obwód koła niewiele różni się od obwodu sześciokąta wpisanego w niego i przyjmowali Świadczą o tym niemal wszystkie teksty utrwalone na glinianych tabliczkach i poruszające te problemy. Tylko jedna tabliczka (datowana na lata 1900–1680 p.n.e.) zawiera obliczenia sugerujące stosowanie przybliżenia
Na pochodzącym sprzed 1650 r. p.n.e. egipskim papirusie Rhinda, autorstwa królewskiego skryby (według niektórych źródeł tylko kopisty oryginału) Ahmesa, zatytułowanym Wprowadzenie do wiedzy o wszystkich istniejących rzeczach można znaleźć rozwiązania zadań matematycznych zawierające m.in. odniesienia do wartości liczby , przybliżanej wartością
W biblijnej Drugiej Księdze Kronik (Biblia Tysiąclecia, rozdział 4, werset 2) pochodzące z V–IV w. p.n.e. można znaleźć słowa: Następnie sporządził odlew okrągłego „morza” o średnicy dziesięciu łokci, o wysokości pięciu łokci i o obwodzie trzydziestu łokci.
Wynika z nich, że w Starym Testamencie, podobnie jak w źródłach babilońskich, przyjmowano oszacowanie