Twierdzenie Borsuka-Ulama o antypodach – twierdzenie topologiczne, które w swojej popularnonaukowej wersji mówi, że na powierzchni kuli ziemskiej istnieje para punktów antypodycznych, w których temperatura i ciśnienie są takie same.
Według Matouška ogólne sformułowanie twierdzenia pojawia się po raz pierwszy w pracy Łazara Lusternika i Lwa Sznirelmana z 1930 rokuŁazar Lusternik, Lew Sznirelman, Topological methods in variational problems, Moskwa, 1930.. Samo twierdzenie nosi jednak nazwisko Karola Borsuka, który jako pierwszy podał jego dowód w pracy opublikowanej w Fundamenta Mathematicae z 1933 roku, gdzie przypisuje on autorstwo tezy Stanisławowi Ulamowi.
Twierdzenie Niech oznacza -wymiarową sferę (jednostkową) przestrzeni euklidesowej Dla dowolnej funkcji ciągłej
istnieje (co najmniej jeden) taki punkt że
Równoważne sformułowania Istnieje kilka faktów topologicznych równoważnych twierdzeniu Borsuka-Ulama. Sformułowania te są pożyteczne przy dowodzeniu twierdzenia Borsuka-Ulama.
1) Twierdzenie Borsuka-Ulama w sformułowaniu danym powyżej.
2) Jeśli ciągła funkcja jest nieparzysta (czyli spełnia tożsamość , to posiada punkt dla którego
3) Nie istnieje ciągłe, nieparzyste przekształcenie (dla ).
4) Nie istnieje ciągłe, nieparzyste odwzorowanie , którego zbiorem wartości jest cała sfera ..
Dowód Przy użyciu kohomologii Niech będzie ciągłym i nieparzystym odwzorowaniem.
Przechodząc do topologii ilorazowej zadanej relacją: dzięki nieparzystości dostaniemy ciągłe odwzorowanie: gdzie oznacza n-wymiarową, rzeczywistą przestrzeń rzutową. Z twierdzenia Hurewicza indukuje to homomorfizm pierścieni kohomologii ze współczynnikami z ciała
który na przybiera wartość ale: a To daje sprzeczność.
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne Borsuk-Ulam theorem , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-04-23].
Borsuka-Ulama, twierdzenie Borsuka-Ulama, twierdzenie