Układ współrzędnych biegunowych (układ współrzędnych polarnych) – układ współrzędnych na płaszczyźnie wyznaczony przez dwie figury: pewien punkt zwany biegunem; półprostą o początku w punkcie zwaną osią biegunową.
Definicja mały
Każdemu punktowi płaszczyzny przypisujemy jego współrzędne biegunowe, jak następujeFranciszek Leja: Geometria analityczna. Wydanie 6. PWN, Warszawa 1976, strona 45.: promień wodzący punktu to jego odległość od bieguna, amplituda punktu to wartość kąta skierowanego pomiędzy półprostą a wektorem
Dla jednoznaczności przyjmuje się, że współrzędne bieguna są równe O amplitudzie możemy zakładać, że (niektórzy autorzy przyjmują ).
Rys historyczny Układ współrzędnych biegunowych został wprowadzony i rozwinięty w Europie w XVII wieku. W XVII w. Bonaventura CavalieriBonaventura Cavalieri: Geometria indivisilibus continuorum. Bonn 1653. (Pierwsze wydanie ukazało się w 1635). użył współrzędnych biegunowych, aby wyznaczyć pole obszaru ograniczonego pierwszym „obrotem” spirali Archimedesa. W 1647 Grégoire de Saint-Vincent opublikował pracę, w której używał współrzędnych biegunowych i twierdził, że znał tę metodę już w 1625. W 1658 Blaise Pascal używał układu biegunowego do wyznaczenia długości łuków krzywych. W 1661 James Gregory, szkocki matematyk, użył podobnej metody. Isaac NewtonNewton: The Method of Fluxions. Londyn 1736. (Napisane w 1671). dyskutował różne układy współrzędnych, m.in. używał układu biegunowego. Jakob Bernoulli używał tego układu w badaniach krzywizny pewnych krzywych. Uważa się go za twórcę biegunowego układu współrzędnych we współczesnej formie.
Według Juliana Coolidge’a (amerykański matematyk i historyk Uniwersytetu Harvarda)Julian Coolidge: The Origin of Polar Coordinates. „The American Mathematical Monthly” 59 (1952), s. 78–85. pierwszeństwo w stosowaniu układu biegunowego należy przyznać Cavalierierimu albo Saint-Vincentemu.
Związek z układem kartezjańskim thumb|250px|Rysunek pokazujący związek układów biegunowego i kartezjańskiego Rozważmy dwa układy współrzędnych na płaszczyźnie: układ kartezjański oraz układ biegunowy z biegunem i osią biegunową
Przejście od układu biegunowego do kartezjańskiego Dla danego wektora wodzącego i amplitudy punktu jego współrzędne kartezjańskie są określone wzorami:
Jakobian przejścia wynosi
Przejście od układu kartezjańskiego do biegunowego Dla punktu o współrzędnych kartezjańskich promień wodzący tego punktu może być wyznaczony na podstawie twierdzenia Pitagorasa:
Jeśli i to z definicji funkcji tangens: ,
zatem amplituda tego punktu jest dana wzorem:
(o ile dopuszczamy ujemne wartości ).
Natomiast aby otrzymać należy rozważyć następujące przypadki:
gdzie oznacza funkcję arcus tangens. W zakresie kątów można ten zapis uprościć do
gdzie oznacza funkcję signum.
Równania biegunowe krzywych algebraicznych Krzywą algebraiczną nazywa się krzywą płaską, której równanie w układzie współrzędnych kartezjańskich jest wielomianem
zmiennych Stopniem krzywej algebraicznej – to maksymalny stopień wszystkich składników wielomianu postaci
Równaniami biegunowymi krzywych nazywa się równania krzywych algebraicznych zapisane w układzie biegunowym. Dla wielu krzywych równania te cechuje szczególna symetria lub prostota. thumb|179x179px|Okrąg o równaniu
Okrąg Okrąg o środku w punkcie i promieniu jest opisany przez równanie
Okrąg jest krzywą algebraiczną 2-go stopnia. Gdy środek znajduje się w biegunie układu współrzędnych, to równanie okręgu przybiera szczególnie prostą postać
Róża thumb|181x181px|Róża o równaniu Krzywa znana pod nazwą róży lub róży polarnej opisana jest przez równanie
gdzie jest dowolną stałą, jest parametrem wyznaczającym długość „płatków” róży, a jest parametrem wyznaczającym liczbę i formę „płatków” róży.
Jeśli jest nieparzystą liczbą całkowitą, to róża będzie miała płatków, a jeśli jest parzystą liczbą całkowitą, to róża będzie miała płatków. Dla innych wartości kształt krzywej może być bardziej skomplikowany.
Spirala Archimedesa thumb|180x180px|Jedno ramię spirali Archimedesa o równaniu dla Spirala Archimedesa jest przedstawiona przez równanie
Parametry w powyższym równaniu odpowiedzialne są za kształt spirali: zmiana spowoduje obrócenie krzywej, a wartość wyznacza odległość pomiędzy ramionami.
Prosta Prosta radialna, tzn. prosta przechodząca przez biegun, jest zadana przez równanie
gdzie to nachylenie prostej.
Prosta nieradialna, która jest prostopadła do prostej radialnej i przecina ją w punkcie zadana jest przez równanie
Krzywe stożkowe mały|181x181px|Elipsa z zaznaczonym parametrem („semilatus rectum” – zielony kolor) Wszystkie krzywe stożkowe można opisać w układzie współrzędnych biegunowych prostym równaniem (gdy jedno z ognisk pokrywa się z biegunem układu, a drugie ognisko leży na osi biegunowej ):
gdzie: – współrzędne biegunowe punktu krzywej, – mimośród, decydujący o typie krzywej ( – okrąg, – elipsa, – parabola, – hiperbola), – parametr krzywej równy połowie długości cięciwy, która przechodzi przez jej ognisko i jest równoległa do jej kierownicy (por. rysunek – nosi on łacińską nazwę semilatus rectum oznaczającego połowę odcinka).
Pole powierzchni ograniczonej wykresem funkcji link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Polar_coordinates_integration_region.svg|mały|Powierzchnia ograniczona krzywą r=r(φ) i promieniami φ = a oraz φ = b. Pole powierzchni ograniczonej wykresem funkcji i promieniami oraz (por. rysunek) oblicza się sumując jej infinitezymalne wycinki kołowe
tj. pole powierzchni jest połową całki z kwadratu funkcji ograniczonej kątami oraz
Dowód: link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Polar_coordinates_integration_Riemann_sum.svg|mały|Powierzchnia ograniczona krzywą r=r(φ) jest przybliżana za pomocą n trójkątów równoramiennych (tu n = 5). Pole pod krzywą można przybliżyć za pomocą wycinków kołowych o środku w biegunie (por. rysunek). Niech oznacza miarę kąta każdego wycinka wyrażoną w radianach, gdzie – liczba podziału przedziału kątowego na równe części; niech będzie kątem środkowym -tego wycinka, każdy z wycinków ma odpowiednio promień kąt środkowy i długość łuku Powierzchnia każdego wycinka jest zatem równa:
Sumaryczne pole wszystkich wycinków dane jest wzorem:
Zwiększając liczbę podziałów pola pod krzywą otrzymujemy coraz mniejsze katy i polepsza się przybliżenie. Dla mamy – powyższa suma przechodzi w całkę Riemanna: cnd.
Długość łuku krzywej we współrzędnych biegunowych Długość łuku (tj. długość wycinka) krzywej zdefiniowanej za pomocą funkcji biegunowej oblicza się sumując wzdłuż krzywej infinitezymalne jej fragmenty
gdzie oraz oznaczają współrzędne kątowe odpowiednio punktu początkowego i końcowego łuku krzywej; – pochodna zmiennej po
Dowód:
(1) Wyprowadzenie wzoru na długość łuku różniczkowego krzywej
W układzie współrzędnych biegunowych, powierzchnię wykresu funkcji można podzielić na trójkąty, których wierzchołki zawarte pomiędzy ich ramionami znajdują się w biegunie, zaś 2 pozostałe: i są częścią wykresu i znajdują się obok siebie, przy czym długość pierwszego ramienia wynosi drugiego dla argumentu długość podstawy jest różniczką naszego łuku, a więc oznaczona jako zaś kąt zawarty pomiędzy ramionami wynosi gdzie jest różniczką tegoż argumentu. Na ramieniu umieszczamy punkt który dzieli to ramię w ten sposób, że zaś W ten sposób podzieliliśmy trójkąt na 2 mniejsze: równoramienny (o podstawie ) i Kąt oznaczmy jako zaś kąt – jako Kąty i znajdują się w trójkącie równoramiennym, tak więc suma ich wszystkich jest równa
Ponieważ więc:
Kąty i są względem siebie przyległe, tak więc ich suma jest równa
Ponieważ więc:
Skoro kąt znajduje się w trójkącie to trójkąt ten staje się prostokątny, a skoro tworzą go boki i to muszą one spełniać twierdzenie Pitagorasa:
Długość podstawy można policzyć w oparciu o twierdzenie cosinusów:
Stąd:
Ponieważ to:
gdzie staje się pochodną po dla Różniczka łuku wykresu funkcji w układzie współrzędnych biegunowych wyraża się więc wzorem:
(2) Długość łuku wykresu funkcji wyraża się zatem wzorem: cnd.
Liczby zespolone – użyteczność postaci biegunowej link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Imaginarynumber2.svg|mały|208x208px|Przedstawienie liczby zespolonej na płaszczyźnie zespolonej thumb|208x208px|Postaci trygonometryczna i wykładnicza liczby zespolonej Każda liczba zespolona może być przedstawiana jako punkt na płaszczyźnie zespolonej, z zastosowaniem różnych układów współrzędnych:
(1) w układzie współrzędnych kartezjańskich
gdzie: – jednostka urojona, – współrzędne kartezjańskie punktu
(2) w układzie współrzędnych biegunowych (tzw. postać trygonometryczna liczby zespolonej)
gdzie: – współrzędna radialna nazywana tu modułem liczby – współrzędna kątowa nazywana jej argumentem. Postać trygonometryczną liczby zespolonej można przekształcić do postaci wykładniczej
gdzie to liczba Eulera.
Użyteczność postaci trygonometrycznej i wykładniczej liczb zespolonych wynika m.in. z faktu, że mnożenie, dzielenie i potęgowanie liczb w tych postaciach jest znacznie proste, niż w postaci kartezjańskiej (por. działania na liczbach zespolonych), tj.
a) mnożenie
b) dzielenie
c) potęgowanie
d) pierwiastkowanie (pierwiastek główny)
Zobacz też Inne układy współrzędnych: współrzędne cylindryczne współrzędne sferyczne współrzędne uogólnione współrzędne krzywoliniowe
Szczególne układy współrzędnych: współrzędne astronomiczne współrzędne galaktyczne współrzędne geodezyjne współrzędne geograficzne
Inne: długość krzywej
Przypisy
Linki zewnętrzne [dostęp 2025-07-13]. Polar coordinates , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-10-22].
Biegunowe