Dylatacja – przekształcenie geometryczne, przeprowadzające dowolną prostą na prostą do niej równoległą. Inaczej mówiąc, jest to kolineacja, w której każda prosta jest równoległa do swojego obrazu.
Własności Dwa dane odcinki i leżące na prostych równoległych, określają dokładnie jedną dylatację dla której obrazem punktu jest punkt a obrazem punktu jest punkt . Odwrotność dylatacji jest dylatacją . Dylatacja jest przekształceniem tożsamościowym (czyli identycznością). Dylatacja jest półobrotem, czyli symetrią środkową (dokoła środka odcinka AB). Jeżeli czworokąt jest równoległobokiem, to dylatacja jest translacją (czyli przesunięciem równoległym). Jeżeli dylatacja ma punkt stały, to obrazem prostej przechodzącej przez ten punkt jest ta sama prosta. Każda dylatacja, która nie jest przesunięciem równoległym ma punkt stały, a jeśli nie jest identycznością, to jest to jedyny jej punkt stały. Jeżeli punkt i jego obraz dylatacyjny nie pokrywają się (tzn. nie jest stały), to obrazem prostej jest ona sama. Jeżeli dwie proste pokrywają się ze swoimi obrazami, to ich przecięcie (o ile istnieje) jest punktem stałym.
Z własności tych wynika klasyfikacja dylatacji ze względu na liczbę punktów stałych: Jeżeli dylatacja ma co najmniej dwa różne punkty stałe, to jest identycznością, Jeżeli dylatacja ma dokładnie jeden punkt stały, to jest jednokładnością, Jeżeli dylatacja nie ma punktu stałego, to jest translacją.
Zbiór dylatacji jest grupą ze względu na ich składanie i podgrupą grupy podobieństw parzystych.
Niezmiennik definiujący grupę dylatacji: kierunek wektora.
Ważniejsze niezmienniki dylatacji: orientacja, stosunek długości wektorów, stosunek pól figur, stosunek objętości figur, współliniowość punktów.
Zobacz też kolineacja podobieństwo
Przypisy
Bibliografia
Literatura dodatkowa
Kategoria:Podobieństwa Kategoria:Funkcje ciągłe