Przestrzeń regularna i przestrzeń to terminy w topologii odnoszące się do tej samej lub bardzo pokrewnych własności oddzielania.

Definicje Powiemy, że w przestrzeni topologicznej punkty mogą być oddzielane od zbiorów domkniętych przez zbiory otwarte jeśli dla każdego zbioru domkniętego i dowolnego punktu można znaleźć rozłączne zbiory otwarte takie że i 200px|Punkt x przedstawiony jako kropka po lewej stronie i zbiór domknięty F, przedstawiony jako zaczerniony dysk po prawej stronie są rozdzielone przez ich odpowiednie otoczenia otwarte U, V (przedstawione jako większe koła)

Czasami w sytuacji jak przedstawiona na rysunku powyżej mówi się, że punkt i zbiór domknięty są rozdzielone przez otoczenia otwarte .

Przestrzeń topologiczna jest przestrzenią regularną wtedy i tylko wtedy, gdy jest przestrzenią T1 w której punkty mogą być oddzielane od zbiorów domkniętych przez zbiory otwarte.

Dyskusja nazewnictwa Istnieją pewne niekonsekwencje w użyciu terminów przestrzeń regularna i przestrzeń w literaturze. Na przykład Kuratowski w swojej monografiiKazimierz Kuratowski, Topology, Volume I, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1966, s. 52. definiuje

przestrzeń regularną jako przestrzeń topologiczną w której punkty mogą być oddzielane od zbiorów domkniętych przez zbiory otwarte, oraz przestrzeń jako przestrzeń regularną która jest także przestrzenią T1.

Z drugiej strony Engelking definiujeEngelking Ryszard, Topologia ogólna, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 2007,s. 53-54, .

bycie przestrzenią i bycie przestrzenią regularną jako tę samą własność (pokrywającą się z naszym znaczeniem przestrzeni regularnej).

Z powodu tych i podobnych rozbieżności, czytelnik literatury topologicznej powinien zawsze upewnić się co do znaczenia terminów stosowanych w danym artykule czy też książce. Wydaje się jednak że terminologia stosowana przez Engelkinga jest najbardziej popularna i my także będziemy się jej trzymać.

Przykłady Większość naturalnych przykładów przestrzeni topologicznych jest W szczególności przykładami takich przestrzeni są: przestrzeń liczb rzeczywistych z naturalną topologią, przestrzenie euklidesowe i ogólniej przestrzenie metryczne. Każda przestrzeń Tichonowa jest przestrzenią regularną, ale istnieją przestrzenie regularne które nie są Na przykład rozważmy podzbiór płaszczyzny z kartezjańskim układem współrzędnych. Na zbiorze wprowadzamy topologię przez określenie bazy otoczeń w każdym punkcie jeśli to jeśli to składa się ze wszystkich zbiorów postaci gdzie jest zbiorem skończonym, gdzie Wtedy jest przestrzenią regularną, ale nie jest przestrzenią Tichonowa. Istnieją przestrzenie które nie są Rozważmy na przykład zbiór z topologią otrzymaną przez rozszerzenie naturalnej topologii na o zbiór Wtedy jest przestrzenią Hausdorffa, która nie jest regularna.

Własności Przestrzeń topologiczna spełniająca warunek jest przestrzenią regularną wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego punktu i jego otoczenia otwartego (tak więc ) istnieje otoczenie punktu którego domknięcie jest zawarte w (tzn. ). Każda regularna przestrzeń topologiczna która jest przeliczalna lub spełnia drugi aksjomat przeliczalności jest także przestrzenią normalną. Podzbiór przestrzeni traktowany jako przestrzeń topologiczna jest znów przestrzenią Własność być przestrzenią jest więc własnością dziedziczną. Iloczyn kartezjański (z topologią Tichonowa) przestrzeni jest przestrzenią

Zobacz też aksjomaty oddzielania przestrzeń Hausdorffa przestrzeń Tichonowa

Przypisy

Linki zewnętrzne Regular space , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-07-15].

Kategoria:Aksjomaty oddzielania