Dziedzina całkowitości, pierścień całkowity – dowolny pierścień, spełniający dodatkowo, jednocześnie, następujące cztery warunki: niezerowy, przemienny, z jedynką, pozbawiony (właściwych) dzielników zera.
Pierścienie te są uogólnieniem pierścienia liczb całkowitych i stanowią one naturalny kontekst do badania podzielności ze względu na dość regularne reguły przeprowadzania rachunków; najistotniejszą ich własnością jest tzw. prawo skracania.
Nieprzemienne dziedziny całkowitości nazywa się dziedzinami, wiele pozycji jednak się nimi nie zajmuje (ograniczając się do klasy pierścieni przemiennych), nazywając dziedziny całkowitości w skrócie również dziedzinami. Inną nazwą dla pojęcia dziedziny całkowitości – pochodzącą od Serge'a Langa (autora klasycznego podręcznika Algebra) – jest: pierścień całkowity (ang. entire ring).
Definicja
Dziedzina całkowitości to dowolny nie-zerowy pierścień przemienny, w którym iloczyn dowolnych dwóch niezerowych elementów, także jest jej pewnym elementem niezerowym. Równoważnie powyższym definicjom, dla zdefiniowania dziedziny całkowitości, możemy posłużyć się także jednym z następujących określeń:
Dziedzina całkowitości to niezerowy pierścień przemienny, który nie posiada niezerowych dzielników zera. Dziedzina całkowitości to pierścień przemienny, w którym ideał zerowy jest także ideałem pierwszym (ang. prime ideal). Dziedzina całkowitości to pierścień, dla którego zbiór jego elementów niezerowych jest przemiennym monoidem pod działaniem mnożenia. Dziedzina całkowitości to niezerowy pierścień przemienny, w którym dla każdego niezerowego elementu ; odwzorowanie, które każdemu elementowi tego pierścienia, zwraca element , jest odwzorowaniem różnowartościowym. Elementy o takiej własności są wtedy nazywane regularnymi; można więc równoważnie powiedzieć, że: dziedzina całkowitości to niezerowy pierścień przemienny, w którym każdy niezerowy element jest regularny. Dziedzina całkowitości to pierścień, który jest izomorficzny do pewnego podpierścienia dla pewnego ciała.
Własności Niech będzie dziedziną całkowitości. Jeżeli , przy czym , to zachodzi następująca własność skracania: jeśli , to . Dowód: Niech . Jeśli , to , czyli: . Ale w pierścieniu nie ma dzielników zera, więc: . Stąd: .
Każde ciało jest dziedziną całkowitości.Dowód: Zbiór niezerowych elementów ciała jest grupą, tzn. iloczyn niezerowych elementów jest różny od zera. Każda skończona dziedzina całkowitości jest ciałem.Dowód: Wystarczy wykazać, że dowolny niezerowy element jest odwracalny. Rozważmy dla danego elementu jego iloczyny ze wszystkimi elementami pierścienia: . Gdyby wśród nich nie było jedynki, to pewien element występowałby dwa razy (co najmniej) dla iloczynów z różnymi elementami, np. dla pewnych . Ale z własności skracania wynika , co jest wbrew temu, że są różnymi elementami.
Zobacz też dziedzina Euklidesa
Przypisy
Bibliografia Jerzy Browkin, Teoria ciał, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1977.
Linki zewnętrzne Integral domain , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].
Kategoria:Rodzaje pierścieni