Liczby pseudopierwsze – liczby naturalne, które spełniają niektóre, konkretnie zadane własności, charakteryzujące liczby pierwsze (zgodnie z obecną wiedzą matematyczną), ale które jednocześnie same nie są liczbami pierwszymi.
Najbardziej istotną kategorią są liczby pseudopierwsze Fermata – są to wszystkie takie liczby złożone (nie pierwsze, jak w pełnym sformułowaniu małego twierdzenia Fermata!), które spełniają następujący warunek w postaci napisu, obecny w małym twierdzeniu Fermata: ma być podzielne przez , dla pewnego . Taka liczba jest wtedy nazywana: liczbą pseudopierwszą Fermata, przy podstawie . Liczba , która jest pseudopierwsza przy każdej podstawie względnie pierwszej z , jest nazywana liczbą Carmichaela.
Najmniejszą liczbą pseudopierwszą przy podstawie 2 jest 341. Nie jest to liczba pierwsza, bo 341 = 11 • 31, ale spełnia warunki twierdzenia: 2340 ≡ 1 (mod 341).
Rzadkość występowania takich liczb ma znaczenie praktyczne. Przykładowo algorytmy kryptografii asymetrycznej takie jak RSA wymagają szybkiego znajdywania kilkusetcyfrowych liczb pierwszych. Standardowo generuje się w nich losową liczbę nieparzystą i testuje czy jest pierwsza. Ponieważ deterministyczne sprawdzanie tego trwałoby długo, korzysta się zwykle z probabilistycznych testów takich jak test pierwszości Fermata.
Innymi kategoriami liczb pseudopierwszych są liczby silnie pseudopierwsze i liczby pseudopierwsze Eulera-Jacobiego, dla których nie ma analogów liczb Carmichaela. Odpowiadają im algorytmy testowania Solovaya-Strassena i Millera-Rabina.
Istnieje nieskończenie wiele liczb pseudopierwszych przy danej podstawie (istnieje nawet nieskończenie wiele liczb Carmichaela), ale są one dosyć rzadkie. Przykładowo istnieją tylko 3 pseudopierwsze liczby przy podstawie 2 mniejsze od 1000, i tylko 245 takich liczb mniejszych od miliona. Liczby pseudopierwsze przy podstawie 2 nazywane są czasem liczbami Pouleta. Poniższa tabela zawiera pierwszych 50 takich liczb, z wytłuszczeniem tych, które są dodatkowo liczbami Carmichaela:
n n n n n 1 341 = 11 • 31 11 2821 = 7 • 13 • 31 21 8481 = 3 • 11 • 257 31 15709 = 23 • 683 41 30121 = 7 • 13 • 3312 561 = 3 • 11 • 17 12 3277 = 29 • 113 22 8911 = 7 • 19 • 67 32 15841 = 7 • 31 • 73 42 30889 = 17 • 23 • 793 645 = 3 • 5 • 43 13 4033 = 37 • 109 23 10261 = 31 • 331 33 16705 = 5 • 13 • 257 43 31417 = 89 • 3534 1105 = 5 • 13 • 17 14 4369 = 17 • 257 24 10585 = 5 • 29 • 73 34 18705 = 3 • 5 • 29 • 43 44 31609 = 73 • 4335 1387 = 19 • 73 15 4371 = 3 • 31 • 47 25 11305 = 5 • 7 • 17 • 19 35 18721 = 97 • 193 45 31621 = 103 • 3076 1729 = 7 • 13 • 19 16 4681 = 31 • 151 26 12801 = 3 • 17 • 251 36 19951 = 71 • 281 46 33153 = 3 • 43 • 2577 1905 = 3 • 5 • 127 17 5461 = 43 • 127 27 13741 = 7 • 13 • 151 37 23001 = 3 • 11 • 17 • 41 47 34945 = 5 • 29 • 2418 2047 = 23 • 89 18 6601 = 7 • 23 • 41 28 13747 = 59 • 233 38 23377 = 97 • 241 48 35333 = 89 • 3979 2465 = 5 • 17 • 29 19 7957 = 73 • 109 29 13981 = 11 • 31 • 41 39 25761 = 3 • 31 • 277 49 39865 = 5 • 7 • 17 • 6710 2701 = 37 • 73 20 8321 = 53 • 157 30 14491 = 43 • 337 40 29341 = 13 • 37 • 61 50 41041 = 7 • 11 • 13 • 41
Poniższa tabela przedstawia najmniejsze liczby pseudopierwsze przy podstawach a ≤ 200. Kolorami zaznaczono liczbę czynników pierwszych.
a smallest p-p a smallest p-p a smallest p-p a smallest p-p 51 65 = 5 • 13 101 175 = 5² • 7 151 175 = 5² • 7 2 341 = 11 • 13 52 85 = 5 • 17 102 133 = 7 • 19 152 153 = 3² • 17 3 91 = 7 • 13 53 65 = 5 • 13 103 133 = 7 • 19 153 209 = 11 • 19 4 15 = 3 • 5 54 55 = 5 • 11 104 105 = 3 • 5 • 7 154 155 = 5 • 31 5 124 = 2² • 31 55 63 = 3² • 7 105 451 = 11 • 41 155 231 = 3 • 7 • 11 6 35 = 5 • 7 56 57 = 3 • 19 106 133 = 7 • 19 156 217 = 7 • 31 7 25 = 5² 57 65 = 5 • 13 107 133 = 7 • 19 157 186 = 2 • 3 • 31 8 9 = 3² 58 133 = 7 • 19 108 341 = 11 • 31 158 159 = 3 • 53 9 28 = 2² • 7 59 87 = 3 • 29 109 117 = 3² • 13 159 247 = 13 • 19 10 33 = 3 • 11 60 341 = 11 • 31 110 111 = 3 • 37 160 161 = 7 • 23 11 15 = 3 • 5 61 91 = 7 • 13 111 190 = 2 • 5 • 19 161 190=2 • 5 • 19 12 65 = 5 • 13 62 63 = 3² • 7 112 121 = 11² 162 481 = 13 • 37 13 21 = 3 • 7 63 341 = 11 • 31 113 133 = 7 • 19 163 186 = 2 • 3 • 31 14 15 = 3 • 5 64 65 = 5 • 13 114 115 = 5 • 23 164 165 = 3 • 5 • 11 15 341 = 11 • 13 65 112 = 24 • 7 115 133 = 7 • 19 165 172 = 2² • 43 16 51 = 3 • 17 66 91 = 7 • 13 116 117 = 3² • 13 166 301 = 7 • 43 17 45 = 3² • 5 67 85 = 5 • 17 117 145 = 5 • 29 167 231 = 3 • 7 • 11 18 25 = 5² 68 69 = 3 • 23 118 119 = 7 • 17 168 169 = 13² 19 45 = 3² • 5 69 85 = 5 • 17 119 177 = 3 • 59 169 231 = 3 • 7 • 11 20 21 = 3 • 7 70 169 = 13² 120 121 = 11² 170 171 = 3² • 19 21 55 = 5 • 11 71 105 = 3 • 5 • 7 121 133 = 7 • 19 171 215 = 5 • 43 22 69 = 3 • 23 72 85 = 5 • 17 122 123 = 3 • 41 172 247 = 13 • 19 23 33 = 3 • 11 73 111 = 3 • 37 123 217 = 7 • 31 173 205 = 5 • 41 24 25 = 5² 74 75 = 3 • 5² 124 125 = 5³ 174 175 = 5² • 7 25 28 = 2² • 7 75 91 = 7 • 13 125 133 = 7 • 19 175 319 = 11 • 19 26 27 = 3³ 76 77 = 7 • 11 126 247 = 13 • 19 176 177 = 3 • 59 27 65 = 5 • 13 77 247 = 13 • 19 127 153 = 3² • 17 177 196 = 2² • 7² 28 45 = 3² • 5 78 341 = 11 • 31 128 129 = 3 • 43 178 247 = 13 • 19 29 35 = 5 • 7 79 91 = 7 • 13 129 217 = 7 • 31 179 185 = 5 • 37 30 49 = 7² 80 81 = 34 130 217 = 7 • 31 180 217 = 7 • 31 31 49 = 7² 81 85 = 5 • 17 131 143 = 11 • 13 181 195 = 3 • 5 • 13 32 33 = 3 • 11 82 91 = 7 • 13 132 133 = 7 • 19 182 183 = 3 • 61 33 85 = 5 • 17 83 105 = 3 • 5 • 7 133 145 = 5 • 29 183 221 = 13 • 17 34 35 = 5 • 7 84 85 = 5 • 17 134 135 = 3³ • 5 184 185 = 5 • 37 35 51 = 3 • 17 85 129 = 3 • 43 135 221 = 13 • 17 185 217 = 7 • 31 36 91 = 7 • 13 86 87 = 3 • 29 136 265 = 5 • 53 186 187 = 11 • 17 37 45 = 3² • 5 87 91 = 7 • 13 137 148 = 2² • 37 187 217 = 7 • 31 38 39 = 3 • 13 88 91 = 7 • 13 138 259 = 7 • 37 188 189 = 3³ • 7 39 95 = 5 • 19 89 99 = 3² • 11 139 161 = 7 • 23 189 235 = 5 • 47 40 91 = 7 • 13 90 91 = 7 • 13 140 141 = 3 • 47 190 231 = 3 • 7 • 11 41 105 = 3 • 5 • 7 91 115 = 5 • 23 141 355 = 5 • 71 191 217 = 7 • 31 42 205 = 5 • 41 92 93 = 3 • 31 142 143 = 11 • 13 192 217 = 7 • 31 43 77 = 7 • 11 93 301 = 7 • 43 143 213 = 3 • 71 193 276 = 2² • 3 • 23 44 45 = 3² • 5 94 95 = 5 • 19 144 145 = 5 • 29 194 195 = 3 • 5 • 13 45 76 = 2² • 19 95 141 = 3 • 47 145 153 = 3² • 17 195 259 = 7 • 37 46 133 = 7 • 19 96 133 = 7 • 19 146 147 = 3 • 7² 196 205 = 5 • 41 47 65 = 5 • 13 97 105 = 3 • 5 • 7 147 169 = 13² 197 231 = 3 • 7 • 11 48 49 = 7² 98 99 = 3² • 11 148 231 = 3 • 7 • 11 198 247 = 13 • 19 49 66 = 2 • 3 • 11 99 145 = 5 • 29 149 175 = 5² • 7 199 225 = 3² • 5² 50 51 = 3 • 17 100 153 = 3² • 17 150 169 = 13² 200 201 = 3 • 67
Przypisy
Linki zewnętrzne
Pseudo-prime , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].
P Kategoria:Teoria podzielności Kategoria:Kryptologia
nl:Kleine stelling van Fermat#Pseudo-priemgetallen