Operator d’Alemberta (dalambercjan) – operator różniczkowy II rzędu definiowany w czterowymiarowej czasoprzestrzeni Minkowskiego. Jest odpowiednikiem operatora Laplace’a definiowanego w 3-wymiarowej przestrzeni Euklidesowej.

Operator ten jest oznaczany symbolem „kwadrat” (rzadziej używane jest oznaczenie ). Wykorzystywany m.in. do zwięzłego zapisu równania falowego klasycznej elektrodynamiki czy równania Kleina-Gordona elektrodynamiki kwantowej.

Przyjmując sygnaturę metryki czasoprzestrzeni, operator ten wyrazimy za pomocą jego składowych.

Współrzędne We współrzędnych operator d’Alemberta ma postać

gdzie: – operator Laplace’a, – prędkość światła w próżni.

Po rozpisaniu operatora Laplace’a otrzyma się

Współrzędne We współrzędnych mamy:

Zapis skrócony Operator d’Alemberta zapisuje się za pomocą iloczynu skalarnego czterogradientu – przy czym iloczyn skalarny w 4-wymiarowej czasoprzestrzeni definiuje się jako sumę iloczynów współrzędnych kowariantnych i kontrawariantnych, tj.

gdzie: – składowe kowariantne 4-gradientu, – składowe kontrawariantne 4-gradientu.

Wstawiając współrzędne, otrzyma się

przy czym

Zastosowania Teoria drgań Równanie falowe np. dla małych drgań (poziomej) struny

gdzie: – przemieszczenie (w pionie) struny od położenia równowagi, – współrzędna położenia punktu na strunie, – czas.

Elektrodynamika klasyczna Równanie falowe fali elektromagnetycznej w próżni

gdzie – czteropotencjał pola elektromagnetycznego.

Elektrodynamika kwantowa Równanie Kleina-Gordona

Zobacz też 1. Operatory różniczkowe 4-wymiarowej czasoprzestrzeni Minkowskiego czterogradient czterowektor (tu m.in. na temat iloczynu skalarnego 4-wektorów) 2. Operatory różniczkowe 3-wymiarowej przestrzeni euklidesowej dywergencja gradient operator Laplace’a operator nabla rotacja 3. Operatory różniczkowe w n-wymiarowej rozmaitości pseudoriemannowskiej dywergencja na rozmaitości gradient na rozmaitości operator Laplace’a na rozmaitości

Przypisy

Bibliografia David J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Cambridge University Press, 2017.

Linki zewnętrzne D'Alembert operator , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].

Kategoria:Analiza matematyczna Kategoria:Czasoprzestrzeń Minkowskiego