Granica odwrotna (granica projektywna) – jedno z fundamentalnych pojęć teorii kategorii, wykorzystywane w wielu dziedzinach matematyki, na przykład w topologii czy algebrze. Pojęcie granicy odwrotnej, w nieco innej niż podana niżej wersji, pochodzi od Pawła AleksandrowaAleksandrow, Paweł: Untersuchungen über Gestalt und lage abqeschlossener Menge beliebiqer Dimension. Ann. of Math., 30 (1929). s. 101–187.. Ogólna definicja pochodzi od Solomona LefschetzaLefschetz, Solomon: On compact spaces, Ann. of Math., 32 (1931). s. 521–538.Lefschetz, Solomon: Algebraic topology. American Mathematical Society Colloquium Publications, vol. 27. Nowy Jork, American Mathematical Society, 1942..

Definicja Rodzinę nazywamy systemem odwrotnym, gdy jest zbiorem skierowanym przez relację dla każdego jest obiektem ustalonej kategorii dla wszystkich o tej własności, że jest morfizmem w kategorii dla wszystkich jeżeli to dla każdego

System odwrotny w którym jest zbiorem liczb naturalnych ze zwykłym porządkiem, nazywamy ciągiem odwrotnym (pomijamy wówczas w zapisie zbiór pisząc po prostu ). Przekształcenia nazywa się przekształceniami skaczącymi systemu odwrotnego Element

nazywa się nicią w systemie odwrotnym jeżeli

dla wszystkich o tej własności, że

Granicą odwrotną systemu odwrotnego nazywa się zbiór wszystkich jego nici (jest to podzbiór iloczynu kartezjańskiego wszystkich zbiorów ) i oznacza przez

Granice systemów odwrotnych przestrzeni topologicznych Granica odwrotna systemu odwrotnego przestrzeni topologicznych jest przestrzenią topologiczną z topologią dziedziczoną z produktu przestrzeni (przestrzenie topologiczne są obiektami kategorii Top, w której morfizmami są odwzorowania ciągłe). Ponadto: granica systemu odwrotnego przestrzeni Hausdorffa jest podzbiorem domkniętym produktu tych przestrzeni, a więc na mocy twierdzenia Tichonowa, granica systemu zwartych przestrzeni Hausdorffa jest przestrzenią zwartą Hausdorffa. granica systemu odwrotnego przestrzeni typu Ti jest przestrzenią typu dla granica systemu odwrotnego przestrzeni Hewitta jest przestrzenią Hewitta. granica systemu odwrotnego przestrzeni zerowymiarowych Lindelöfa nie musi być przestrzenią zerowymiarowąCharalambous, Michael George: An example concerning inverse limit sequences of normal spaces. „Proceedings of the American Mathematical Society” 78 (1980). s. 605–607. .. bazą granicy odwrotnej systemu jest rodzina zbiorów postaci gdzie przebiega dowolny współkońcowy podzbiór zbioru a jest otwartym podzbiorem przestrzeni każda zwarta przestrzeń Hausdorffa jest granicą systemu odwrotnego zwartych przestrzeni metrycznych, przy czym wspomniane przestrzenie metryczne zwarte mogą być wybrane spośród zwartych podzbiorów przestrzeni euklidesowychShiraki, Mitsunobu: Compact Hausdorff spaces and inverse limit systems. Rep. Fac. Sci., Kagoshima Univ. (Math. Phys. Chem.) No. 3, (1970). s. 1–2. .. każde continuum jednowymiarowe jest granicą systemu odwrotnego grafów.

Przypisy

Bibliografia

Linki zewnętrzne [dostęp 2025-12-04]. Projective limit , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-12-05].

Kategoria:Teoria kategorii Kategoria:Operacje na przestrzeniach topologicznych O