Wielomian minimalny – pojęcie określone dla macierzy kwadratowych oraz endormorfizmów liniowych: dla macierzy kwadratowej wielomianem minimalnym jest wielomian anulujący tej macierzy, tzn. stopnia najniższego względem o współczynniku jeden (1) przy najwyższej potędze argumentu dla endomorfizmu liniowego zadanego daną macierzą, jest to taki wielomian że (interpretując jako przekształcenie złożone ze sobą razy) przekształca każdy wektor na wektor zerowy, a wielomian jest najniższego możliwego stopnia i ma współczynnik jeden (1) przy najwyższej potędze
Każda macierz kwadratowa ma tylko jeden wielomian minimalny.
Związek z wielomianem charakterystycznym Wielomian minimalny macierzy jest związany z wielomianem charakterystycznym następującą zależnością:
przy czym jest największym wspólnym dzielnikiem wszystkich elementów macierzy dołączonej gdzie jest macierzą jednostkową o tym samym wymiarze co macierz
Powyższa zależność jest przydatna przy wyznaczaniu wielomianu minimalnego.
Algorytm wyznaczania Algorytm wyznaczania wielomianu minimalnego macierzy Wyznaczamy wielomian charakterystyczny macierzy Wyznaczamy macierz dołączoną macierzy Znajdujemy będący największym wspólnym dzielnikiem elementów macierzy dołączonej Korzystając z wzoru wyznaczamy szukany wielomian minimalny macierzy
Przykład Wyznaczmy wielomian minimalny macierzy:
Wyznaczamy najpierw wielomian charakterystyczny macierzy
Następnie obliczamy macierz dołączoną macierzy więc wyznaczamy dopełnienia algebraiczne elementów macierzy
Aby więc otrzymać macierz dołączoną, należy zastąpić elementy danej macierzy przez ich dopełnienia algebraiczne i dokonać transpozycji. Ostatecznie macierz dołączona podanej macierzy ma postać:
Wszystkie elementy macierzy dołączonej są podzielne przez zatem ze wzoru:
otrzymujemy, że szukany wielomian minimalny zadanej macierzy ma postać:
Linki zewnętrzne [dostęp 2026-08-12]. Minimal polynomial of a matrix , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2026-08-12].
Kategoria:Obiekty określone dla macierzy kwadratowych Kategoria:Endomorfizmy liniowe Kategoria:Rodzaje wielomianów